Matematyka.pl

Znaleźć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V=\{peR_2[x]:p'(3)=0\}}\) (nad ciałem R) i podać współrzędne wektora \(\displaystyle{ q=4x^2-24x-3}\) w znalezionej bazie.

Jedyne co na tę chwilę udało mi się ustalić to \(\displaystyle{ dimR_2[x]=3}\) i brakujące wektory będę dobierać z bazy kanonicznej tej przestrzeni: \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\)

Wielomiany stopnia drugiego:


\(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)
pochodna:

\(\displaystyle{ 2ax+b}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ 6a+b=0}\)

Zatem wyraz wolny naszego wielomianu może być jakikolwiek, stąd:

\(\displaystyle{ ax^2+\left( -6a\right)x+c}\)

i teraz trzeba dobrać 2 wektory i spr warunki na bazę?

Ja w przypadku wielomianów zamieniam je sobie jawnie na wektory:

\(\displaystyle{ \left( a,-6a,c\right) = a\left( 1,-6,0\right) + c\left( 0,0,1\right)}\)

Czyli generatory w bazie kanonicznej: \(\displaystyle{ x^2-6x, 1}\) (w naszym przypadku także i baza, dlaczego?)

edit:

co chcesz dobierac, skąd?

Kacperdev pisze:Ja w przypadku wielomianów zamieniam je sobie jawnie na wektory:

\(\displaystyle{ \left( a,-6a,c\right) = a\left( 1,-6,0\right) + c\left( 0,0,1\right)}\)

Czyli generatory w bazie kanonicznej: \(\displaystyle{ x^2-6x, 1}\) (w naszym przypadku także i baza, dlaczego?)

edit:

co chcesz dobierac, skąd?

wektory do bazy z bazy kanonicznej \(\displaystyle{ dimR_2[x]=1,x,x^2}\)

Ale baza kanoniczna \(\displaystyle{ R_2 \left[ x\right]}\) nie ma tu w ogóle zastosowania. Nie jest ona bazą naszej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).

Naszą przykładowa bazą z \(\displaystyle{ V}\) jest np. \(\displaystyle{ x^2-6x, 1}\)

\(\displaystyle{ \dim R_2[x]=1,x,x^2}\)

Niepoprawny zapis. Dim określa wymiar przestrzeni.