Matematyka.pl

Dana jest macierz diagonalna \(\displaystyle{ A \in \CC^{n\times n} }\), której wyrazy na przekątnej są elementami zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, - \frac{1}{2} + i \frac{ \sqrt{3} }{2} , - \frac{1}{2} - i \frac{ \sqrt{3} }{2} \right\} }\). Znajdź wszystkie wartości, jakie może przyjmować wymiar przestrzeni nad ciałem \(\displaystyle{ \CC }\) generowanej przez \(\displaystyle{ I,A,A^{2},A^{3},... }\)
Nie wiem jak do tego zadania podejść.
Z góry dziękuję za pomoc.

Sprawdż ile wynosi `A^3`

a4karo pisze: ↑11 lis 2022, o 14:55 Sprawdż ile wynosi `A^3`

Jeśli \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\)
to \(\displaystyle{ A^{3} = \begin{bmatrix} a_{11}^{3}&0&0&0\\0&a_{22}^{3}&0&0\\0&0&a_{33}^{3}&0\\0&0&0&a_{44}^{3}\end{bmatrix}}\)

Dodano po 1 dniu 16 godzinach 57 minutach 16 sekundach:
Czyli, przez to że wszystkie liczby poza przekątną to 0, wymiar będzie równy \(\displaystyle{ n}\)

Nie o to chodzi w zadaniu. Macierze `x\times n` tworzą przestrzeń wektorową ze zwykłymi operacjami dodawania i mnożenia przez skalar. Pytanie w zadaniu dotyczy wymiaru przestrzeni rozpiętej na wektorach `I, A, A^2,...`. Ten wymiar będzie różny w zależności of tego jak wygląda macierz `A`.

Powtórzę jeszcze raz wskazówkę: Sprawdź ile wynosi `A^3` (na razie nie sprawdziłeś, tylko napisałeś formułkę.)

Jaka jest wartość elementu macierzy \(\displaystyle{ a_{44} ? }\)