Matematyka.pl

"Nie ma żadnego specjalnego trzeciego przypadku ", ale

\(\displaystyle{ (0, y, 0) \in W_{1} ? }\)

Sprawdzanie, czy

\(\displaystyle{ (i) \ \ \alpha + \beta \in W }\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ a\cdot \alpha \in W }\)

jest dawaniem kontrprzykładu ?

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 17:56 "Nie ma żadnego specjalnego trzeciego przypadku ", ale

\(\displaystyle{ (0, y, 0) \in W_{1} ? }\)

Ale co?

Jak wiadomo, iloczyn dwóch liczb rzeczywistych jest zerem dokładnie wtedy, gdy

sowa_ pisze: ↑30 paź 2022, o 19:20 jedna z dwóch liczb jest równa 0,

i tyle ("jedna" nie oznacza "dokładnie jedna").

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 17:56 Sprawdzanie, czy

\(\displaystyle{ (i) \ \ \alpha + \beta \in W }\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ a\cdot \alpha \in W }\)

jest dawaniem kontrprzykładu ?

I znów brniesz. Sprawdzanie nie jest dawaniem kontrprzykładu, ale to sprawdzanie jest zbędne, gdy umiemy wskazać kontrprzykład. A w tak prostych przykładach zbiorów łatwo jest go znaleźć. I jest to dużo lepsze od grzebania się w rachunkach, których w dodatku czasem się nie rozumie.

Jesteśmy już na drugiej stronie zupełnie zbędnej dyskusji. Wrócę zatem do pierwotnego pytania sowa_.

Jeżeli jesteś w stanie wskazać dwa wektory z danego zbioru \(\displaystyle{ W}\), których suma nie jest w tym zbiorze, to ten zbiór nie jest zamknięty na dodawanie wektorów i w związku z tym nie jest podprzestrzenią liniową (analogicznie z mnożeniem przez skalar). Czasem bardzo łatwo wskazać taki kontrprzykład, np. w przykładzie a) są to wektory \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Poszukaj sam kontrprzykładu w b).

Natomiast uzasadnienie, że zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest podprzestrzenią liniową wymaga sprawdzenia, że warunki \(\displaystyle{ w_1 + w_2 \in W }\) i \(\displaystyle{ a\cdot w \in W }\) zachodzą dla dowolnych \(\displaystyle{ w_1,w_2,w\in W}\) oraz skalara \(\displaystyle{ a}\). W tym wypadku musisz wykonać pewne rachunki, korzystając z definicji zbioru \(\displaystyle{ W}\). Taką sytuację masz w podpunkcie c).

Po pewnym czasie nabiera się pewnej wprawy, która pomaga zdecydować, czy lepiej szukać kontrprzykładu, czy pokazywać zamkniętość na działania.

JK

Ale to, że wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,y, 0) \in W_{1}}\) i trzeba go uwzględnić w rozpatrywaniu podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}.}\)

Stwierdzenie i "dalej brniesz " jest nie na miejscu, bo wskazuje na występowanie z pozycji " ja mam rację i tylko ja mam rację"

Sprawdzanie warunków podprzestrzeni liniowej nie jest dawaniem konkretnego kontrprzykładu.

Przerwijmy więc tą dyskusję.

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 18:49

Stwierdzenie i "dalej brniesz " jest nie na miejscu, bo wskazuje na występowanie z pozycji " ja mam rację i tylko ja mam rację"

Pękam ze śmiechu

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 18:49 Ale to, że wektor o współrzędnych \(\displaystyle{ (0,y, 0) \in W_{1}}\) i trzeba go uwzględnić w rozpatrywaniu podprzestrzeni \(\displaystyle{ W_{1}.}\)

Nie mam pojęcia, co ma znaczyć to zdanie, czym jest przestrzeń \(\displaystyle{ W_1}\) ani jaki to ma związek z rozważanym zadaniem.

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 18:49 Stwierdzenie i "dalej brniesz " jest nie na miejscu, bo wskazuje na występowanie z pozycji " ja mam rację i tylko ja mam rację"

Sprawdzanie warunków podprzestrzeni liniowej nie jest dawaniem konkretnego kontrprzykładu.

A czy ktokolwiek twierdził, że jest?! Przypomnę na wszelki wypadek, co napisałem:

"Sprawdzanie nie jest dawaniem kontrprzykładu, ale to sprawdzanie jest zbędne, gdy umiemy wskazać kontrprzykład. A w tak prostych przykładach zbiorów łatwo jest go znaleźć. I jest to dużo lepsze od grzebania się w rachunkach, których w dodatku czasem się nie rozumie."

janusz47 pisze: ↑31 paź 2022, o 18:49 Przerwijmy więc tą dyskusję.

Nie mam nic przeciwko.

JK