Matematyka.pl

Witam.
O symetrzycznej macierzy rzeczywistej rozmiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), wiadomo że:
\(\displaystyle{ M\begin{pmatrix}
1\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}
}\), \(\displaystyle{ M\begin{pmatrix}
1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}}\) oraz jej ślad to 5. Wyznaczyć jej drugą kolumnę.

Chciałem to zrobić czysto algebraiczne, nałożyłem jakąś symetryczna macierz na podane wektory i dostałem układ dwóch równań plus informacje o śladzie, ale nie wyszło.
Widzę że wektory różnią się 2 i 3 wierszem i wydaję mi się, że to ma znaczenie, ale nic mi to nie mówi.

Macierze symetryczne się diagonalizują, a ich wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są prostopadłe. \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}}\) są liniowo niezależnymi wektorami własnymi dla wartości własnej \(\displaystyle{ 2}\), więc tyle wynoszą dwie z trzech wartości własnych. Trzecią wartość można odzyskać z faktu, że ślad macierzy jest równy sumie wartości własnych (z uwzględnieniem krotności). Odpowiadający jej zaś wektor własny musi być prostopadły do dwóch pierwszych, można więc przyjąć, że to ich iloczyn wektorowy.

Dostajemy stąd trzy wektory własne i ich wartości własne, co pozwala wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ M}\).

Dziękuję, zrozumiałem.
Nie jest dla mnie do końca jasna sytuacja że śladem i wartościami własnymi.

Dasio11 pisze: ↑19 lut 2023, o 10:34 Trzecią wartość można odzyskać z faktu, że ślad macierzy jest równy sumie wartości własnych (z uwzględnieniem krotności).

Faktycznie, macierz po diagonalizacji, ma między macierzami izometrii macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\), której ślad to suma jej wartości własnych. Nie rozumiem jednak, dlaczego \(\displaystyle{ tr(M) = tr(D)}\).

Można to udowodnić stosując wzory Viete'a do wielomianu charakterystycznego \(\displaystyle{ \chi_M(x) = \det(M - xI)}\). Można też wykazać wzór \(\displaystyle{ \operatorname{\text{tr}}(AB) = \operatorname{\text{tr}}(BA)}\) dla dowolnych macierzy \(\displaystyle{ A, B}\) (których iloczyn istnieje i jest macierzą kwadratową), a wtedy

\(\displaystyle{ \operatorname{\text{tr}}(M) = \operatorname{\text{tr}}(PDP^{-1}) = \operatorname{\text{tr}}(P^{-1}PD) = \operatorname{\text{tr}}(D)}\).