Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 lis 2017, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mt moon
- Podziękował: 7 razy
Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Witam. Mam równanie \(\displaystyle{ B^{T}\!\!AB}\) . Macierz \(\displaystyle{ A}\) to jakaś macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\) .
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} x _{1} &x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}
A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Czy można liczyć tutaj wyznaczniki?
Wiem że wynik to macierz \(\displaystyle{ 1 \times 1 \rightarrow}\) Wyznacznik, to ta macierz.
Dla \(\displaystyle{ 3 \times 3 \rightarrow}\) też wiem, że można.
Ale czy tak można?
\(\displaystyle{ \det (B^{T}\!\!AB) = \det A \cdot \det (B^{T}\!B)}\)
Teoretycznie nadal liczę wyznaczniki dla macierzy kwadratowych.
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} x _{1} &x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}
A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
Czy można liczyć tutaj wyznaczniki?
Wiem że wynik to macierz \(\displaystyle{ 1 \times 1 \rightarrow}\) Wyznacznik, to ta macierz.
Dla \(\displaystyle{ 3 \times 3 \rightarrow}\) też wiem, że można.
Ale czy tak można?
\(\displaystyle{ \det (B^{T}\!\!AB) = \det A \cdot \det (B^{T}\!B)}\)
Teoretycznie nadal liczę wyznaczniki dla macierzy kwadratowych.
Ostatnio zmieniony 30 gru 2017, o 19:23 przez superhiro2, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Muszą być nawiasy:
- \(\displaystyle{ \det\left(B^T\!\!AB\right)=\det A\cdot\det\left(B^T\!B\right)}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Jest bardzo niejasne, o co chcesz zapytać.
To nie jest równanie, tylko iloczyn macierzy.superhiro2 pisze:Mam równanie \(\displaystyle{ B^{T}\!\!AB}\)
Liczyć zawsze można, tylko po co?superhiro2 pisze:Czy można liczyć tutaj wyznaczniki?
Nie, taki wzór nie zawsze zachodzi.superhiro2 pisze:Ale czy tak można?
\(\displaystyle{ \det (B^{T}\!\!AB) = \det A \cdot \det (B^{T}\!B)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 lis 2017, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mt moon
- Podziękował: 7 razy
Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
A po co liczy się wyznaczniki dla macierzy stopnia \(\displaystyle{ 1}\) ? Wyznacznik to właśnie ta liczba. W pierwszym poście podałem macierz jednostkową, zamiast macierzy z parametrem. Nie chodziło mi o rozwiązanie zadania.
Chciałem zapytać czy tylko w takiej konfiguracji macierzy zajdzie ta równość.
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)
Czyli macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) i \(\displaystyle{ 3\times3}\) . Mnożymy tą \(\displaystyle{ 3\times1}\) tyle, że transponowaną, czyli powstaje z niej \(\displaystyle{ 1\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) . Wynikiem takiego mnożenia na pewno jest macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) , więcej nawet mnożenie macierzy \(\displaystyle{ 3\times1}\) z jej postacią transponowaną daje macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) .
PS. Przepraszam za cytat po postem
Chciałem zapytać czy tylko w takiej konfiguracji macierzy zajdzie ta równość.
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)
Czyli macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) i \(\displaystyle{ 3\times3}\) . Mnożymy tą \(\displaystyle{ 3\times1}\) tyle, że transponowaną, czyli powstaje z niej \(\displaystyle{ 1\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times3}\) razy macierz \(\displaystyle{ 3\times1}\) . Wynikiem takiego mnożenia na pewno jest macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) , więcej nawet mnożenie macierzy \(\displaystyle{ 3\times1}\) z jej postacią transponowaną daje macierz \(\displaystyle{ 1\times1}\) .
Ukryta treść:
No właściwi to nie zawsze można liczyć wyznacznik. Można tylko w macierzy kwadratowej. W innych teoretycznie też można, ale zawsze równa się \(\displaystyle{ 0}\) , można bo to wytłumaczyć tym że, dokładamy kolumny/wiersze uzupełnione zerami, a jak wiemy jeśli wiersz/kolumna się zeruje to wyznacznik równy \(\displaystyle{ 0}\) .Dasio11 pisze:Liczyć zawsze można, tylko po co?
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
- Wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ 1\times1}\) się nie oblicza. Wyznacznik takiej macierzy jest dany; jest on równy (jedynemu) elementowi tej macierzy.
Nie można, bo wyznacznik jest zdefiniowany jedynie dla macierzy kwadratowych, a dla innych nie i w związku z tym nie istnieje.superhiro2 pisze:No właściwi to nie zawsze można liczyć wyznacznik. Można tylko w macierzy kwadratowej. W innych teoretycznie też można, ...
Musisz się podszkolić, bo niematematycznie rozumujesz i możesz „popłynąć” (np. oblać kolokwium).
Poczytaj jakiś podręcznik do algebry liniowej.
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 lis 2017, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mt moon
- Podziękował: 7 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Czyli nadal oftopujemy?
A wypowie się może kolega trochę na temat i powie czy:
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)
To jest poprawnie?
A wypowie się może kolega trochę na temat i powie czy:
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)
To jest poprawnie?
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Żeby można było wykonać mnożenie macierzy \(\displaystyle{ A \cdot B}\) , szerokość \(\displaystyle{ A}\) musi być równa wysokości \(\displaystyle{ B}\) . Z tego powodu oba iloczyny macierzy po lewej stronie równości są niezdefiniowane (więc równość nie tyle jest niepoprawna, co nie ma sensu).
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 9 lis 2017, o 21:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: mt moon
- Podziękował: 7 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
O jej. Właśnie teraz uświadomiłem sobie, że sknociłem cały zapis. Faktycznie macierze te z \(\displaystyle{ x}\)–ami miały być odwrotnie, najpierw pozioma potem pionowa.
Ostatnio zmieniony 3 sty 2018, o 00:35 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 826
- Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 187 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Nawet poprawiony wzór nie ma sensu: wyznacznik tego iloczynu wektorów jest zawsze równy zero.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
To wtedy:
\(\displaystyle{ {\det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}}\)
i
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \right) = 0}\) ,
bo kolumny powstałej macierzy są współliniowe, a dokładniej jeśli \(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}}\) , to
\(\displaystyle{ X \cdot X^{\top} = \begin{bmatrix} x_1X & x_2X & x_3X \end{bmatrix}}\) .
\(\displaystyle{ {\det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = \det \left( \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \right) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}}\)
i
\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \right) = 0}\) ,
bo kolumny powstałej macierzy są współliniowe, a dokładniej jeśli \(\displaystyle{ X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}}\) , to
\(\displaystyle{ X \cdot X^{\top} = \begin{bmatrix} x_1X & x_2X & x_3X \end{bmatrix}}\) .
-
- Użytkownik
- Posty: 4211
- Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków PL
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 758 razy
Re: Wyznacznik iloczynu macierzy niekwadratowych.
Nie jest, bo mnożenie macierzy nie jest przemienne.superhiro2 pisze:\(\displaystyle{ \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix}\right) = \det \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot\; \det \left( \begin{bmatrix} x _{1}\\x _{2}\\x _{3}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1}&x _{2}&x _{3}\end{bmatrix} \right)}\)
To jest poprawnie?