Oczywiście, że jest wzór. Jest to wzór na macierz dołączoną.
Ale najpierw przy użyciu bardzo elementarnej wiedzy (i oczywiście bez wypisywania żadnych równań):
Jądro przekształcenia odpowiadającego macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest rozpięte na wektorze \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\), zaś obraz na wektorze \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\).
Wystarczy (i potrzeba) więc, żeby wektor \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\) leżał w jądrze przekształcenia odpowiadającego szukanej macierzy \(\displaystyle{ B}\), zaś obraz tego przekształcenia leżał w podprzestrzeni rozpiętej na wektorze \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\).
Gdy już się z powyższym tekstem oswoimy, wypisujemy szukaną macierz (jedną z wielu możliwych) bez rozwiązywania czegokolwiek:
A teraz wzór działający dla macierzy osobliwych dowolnego rzędu. Szukaną macierzą jest (z dokładnością do czynnika) transponowana macierz dopełnień algebraicznych zwana macierzą dołączoną. Wynika to stąd, że macierz pomnożona z dowolnej strony przez macierzdołączoną jest skalarna i na przekątnej ma wyznacznik wyjściowej macierzy, czyli w naszym przypadku zero. Tak zresztą definiuje się czasami wyznacznik (Crammer).
Dla macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) postaci \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}\) macierz dołączona jest szczególnie łatwa do wyznaczenia: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{pmatrix}}\), czyli \(\displaystyle{ B=\begin{pmatrix}6&-2\\-3&1\end{pmatrix}}\).
