Matematyka.pl

Dana jest podprzestrzeń \(\displaystyle{ V_t= \rm lin ([t,-1,2,-1], [1,-1,-1,1])}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)

Znajdź wszystkie \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) takie że \(\displaystyle{ V_t= \rm lin ([4,-3,0,1], [1,0,3,-2])}\)

\(\displaystyle{ V_{t}}\) to pewna z góry zadana podprzestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) Wektory \(\displaystyle{ [4,-3,0,1], [1,0,3,-2]}\) są liniowo niezależne więc to pewna dwuwymiarowa podprzestrzeń.

zatem musi istnieć kombinacja liniowa \(\displaystyle{ a[t,-1,2,-1]+ b[1,-1,-1,1]=[4,-3,0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ a[t,-1,2,-1]+ b[1,-1,-1,1]=[1,0,3,-2]}\)

To tworzy nam pewne dwa układy równań.

Z tego łatwo obliczyć \(\displaystyle{ a,b}\) a stąd jednoznacznie wyznaczyć \(\displaystyle{ t}\).

A jesli mam wyznaczyć takie \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) takie że \(\displaystyle{ V_t=W}\) gdzie W jest przestrzenią rozwiąząń układu równań \(\displaystyle{ AX=0}\) dla macierzy \(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 0 & 1
\end{pmatrix}}\)

No to pokaż jak rozwiązujesz ten układ.

Układ jest już generalnie w postaci "schodkowej"
\(\displaystyle{ \begin{matrix}
1 & 2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2 & 3

\end{matrix}}\)
i rozumiem że każdy wiersz ma się równać zero, ale jak pokazać tą równość tj jak to t wyznaczyć skoro tu mam macierz a tam podprzestrzeń?

Coś mieszasz. Układ będzie postaci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&2&3 \\ 1&2&0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x \\ y \\z \\ t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right]}\)

aaa, faktycznie