Matematyka.pl

Mam jeszcze jedno zadanie:

Niech macierz \(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix}
2 & 1\\
-3 & 0
\end{bmatrix}}\) jest macierzą odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f: \RR^{2} \rightarrow \RR^{2}}\) przy bazie \(\displaystyle{ B = ((-2, 1), (4, 2))}\) w \(\displaystyle{ \RR ^{2} }\). Wyznacz obraz wektora \(\displaystyle{ b = (5, 1).}\)

Z góry serdecznie dziękuję

1.
Znajdujemy postać odwzorowania liniwego \(\displaystyle{ f: \RR^2 \rightarrow \RR^2 }\) o danej macierzy \(\displaystyle{ A.}\)

2.
Znajdujemy obrazy wektorów bazowych w tym przekształceniu.

3.
Obliczamy współrzędne obrazów wektorów bazowych w danej bazie.

4.
Zapisujemy współrzędne obrazów wektorów bazowych jako kolumny macierzy \(\displaystyle{ B}\)

5.
Wyznaczamy obraz wektora \(\displaystyle{ \vec{b}, \ \ Im(\vec{b}) = B\cdot \vec{b}. }\)

Z definicji powinnaś:

- zapisać wektor \(\displaystyle{ b}\) w bazie \(\displaystyle{ B}\), tj. znaleźć liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \RR}\) spełniające

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}\);

- obliczyć wektor

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} \alpha' \\ \beta' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}}\);

- obliczyć wektor

\(\displaystyle{ b' = \alpha' \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta' \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}}\),

który jest szukanym obrazem.