Matematyka.pl

Wyznacz bazę i wymiar przestrzeni liniowych:
a) \(\displaystyle{ S = \left\{ (x, y, z,t)\in\RR^4: 2x + 2y + 4t = y + 3t = 0\right\} }\)

b) rozwiązań układu równań:
\(\displaystyle{
\begin{cases}x_1 + x_3 + 2x_4 = 0\\
2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 4x_4 = 0\\
2x_1 + x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0\end{cases} }\)

Proszę o sprawdzenie:
a)\(\displaystyle{ 2x+2y+4t=0}\)
\(\displaystyle{ y+3t=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&2&0&4\\0&1&0&3\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&2\\0&1&0&3\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&-1\\0&1&0&3\end{array}\right] }\), zatem
\(\displaystyle{ x=t,y=-3t,z=z,t=t}\) i wektory \(\displaystyle{ (1,-3,0,1),(0,0,1,0)}\) są liniowo niezależne zatem baza to na przykład
\(\displaystyle{ V=\left\{ (1,-3,0,1),(0,0,1,0)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \dim V=2}\).

b)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&1&2\\2&2&2&4 \\ 2&1&3&4\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{cccc}1&0&1&2\\0&2&0&0 \\ 0&1&1&0\end{array}\right] \rightarrow
\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&2\\0&1&0&0 \\ 0&0&1&0\end{array}\right] }\), więc
\(\displaystyle{ x_1=-2x_4,x_2=0,x_3=0,x_4=x_4}\) i przestrzeń jest rozpinana przez jeden wektor i baza to na przykład
\(\displaystyle{ V=\left\{ (-2,0,0,1)\right\} }\) i \(\displaystyle{ \dim V=1}\).

Dobrze.

JK