Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K }\) takim że \(\displaystyle{ 1+1 \neq 0 }\). Niech \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\) oraz \(\displaystyle{ \psi : V \rightarrow V}\) będą przekształceniami liniowymi.

1. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ v \in \ker ( \phi + \psi) }\) , to \(\displaystyle{ \phi (v) \in \Im \phi \cap \Im \psi}\). Udowodnij, że jądro przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f: \ker ( \phi + \psi) \rightarrow \Im \phi \cap \Im \psi }\) danego wzorem \(\displaystyle{ f(v)= \phi (v) }\) równe jest \(\displaystyle{ \ker \phi \cap \ker \psi }\)

2. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \dim \ker ( \phi + \psi) \le \dim (\ker \phi \cap \ker \psi) + \dim (\Im \phi \cap \Im \psi)}\). Wskaż parę niezerowych przekształceń liniowych \(\displaystyle{ \phi , \psi }\) dla których powyższa nierówność jest równością.

Rozwiązanie punktu 1.
Załóżmy, iż \(v \in \mathrm{Ker}(\varphi + \psi)\). Oznacza to, iż \(\varphi(v) + \psi(v) = 0\), a więc też dzięki jednorodności odwzorowania \(\psi\) mamy \(\varphi(v) = -\psi(v) = \psi(-v)\). W szczególności, \(\varphi(v)\) jest i w obrazie odwzorowania \(\varphi\), i w obrazie odwzorowania \(\psi\). Stąd więc \(\varphi(v) \in \Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\).

Aby wykazać, iż \(\mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi = \mathrm{Ker}\,f\) udowodnimy dwa zawierania. Jeśli \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\), to w szczególności \(\varphi(v) = 0\), a więc też \(f(v) = \varphi(v) = 0\), czyli \(v \in \mathrm{Ker}\,f\).

Odwrotnie, niech \(v \in \mathrm{Ker}\,f\), czyli niech \(\varphi(v) = f(v) = 0\). Widzimy już, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi\). Zauważyliśmy też uprzednio, iż \(\psi(v) = -\varphi(v) = 0\), a więc \(v \in \mathrm{Ker}\,\psi\). Oznacza to, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\).

Rozwiązanie punktu 2.
Skorzystamy z ogólnego faktu, iż jeśli \(h \colon X \longrightarrow Y\) jest homomorfizmem przestrzeni liniowej \(X\) w przestrzeń \(Y\), to W naszym przypadku jest \(f \colon \mathrm{Ker}(\varphi + \psi) \longrightarrow \Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\), a więc Pozostaje zauważyć, iż \(\Im\,f\) jest liniową podprzestrzenią całej przestrzeni \(\Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\), a więc \(\dim\Im\,f \leqslant \dim(\Im\,\varphi \cap \Im\,\psi)\).

Jako przykład, iż nierówność może stać się równością wystarczy rozważyć \(\varphi = \mathrm{id}_V\) oraz \(\psi = 0\) lub, jeśli nie chcemy homomorfizmów zerowych, \(\varphi = \mathrm{id}_V\) i \(\psi = -\mathrm{id}_V\).

Na koniec warto zauważyć, iż nie miały znaczenia ani charakterystyka ciała skalarów, ani założenie skończoności wymiaru przestrzeni wektorowej \(V\) (no chyba że ktoś strasznie nie lubi nieskończonych liczb kardynalnych).

Anulus Smaragdinus, dziękuję