Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ K }\) takim że \(\displaystyle{ 1+1 \neq 0 }\). Niech \(\displaystyle{ \phi : V \rightarrow V}\) oraz \(\displaystyle{ \psi : V \rightarrow V}\) będą przekształceniami liniowymi.
1. Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ v \in \ker ( \phi + \psi) }\) , to \(\displaystyle{ \phi (v) \in \Im \phi \cap \Im \psi}\). Udowodnij, że jądro przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f: \ker ( \phi + \psi) \rightarrow \Im \phi \cap \Im \psi }\) danego wzorem \(\displaystyle{ f(v)= \phi (v) }\) równe jest \(\displaystyle{ \ker \phi \cap \ker \psi }\)
2. Uzasadnij, że \(\displaystyle{ \dim \ker ( \phi + \psi) \le \dim (\ker \phi \cap \ker \psi) + \dim (\Im \phi \cap \Im \psi)}\). Wskaż parę niezerowych przekształceń liniowych \(\displaystyle{ \phi , \psi }\) dla których powyższa nierówność jest równością.
Wymiar, jądro przekształcenia - własności
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy
Wymiar, jądro przekształcenia - własności
Ostatnio zmieniony 18 lut 2024, o 01:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Anulus Smaragdinus
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 lut 2024, o 23:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Re: Wymiar, jądro przekształcenia - własności
Rozwiązanie punktu 1.
Załóżmy, iż \(v \in \mathrm{Ker}(\varphi + \psi)\). Oznacza to, iż \(\varphi(v) + \psi(v) = 0\), a więc też dzięki jednorodności odwzorowania \(\psi\) mamy \(\varphi(v) = -\psi(v) = \psi(-v)\). W szczególności, \(\varphi(v)\) jest i w obrazie odwzorowania \(\varphi\), i w obrazie odwzorowania \(\psi\). Stąd więc \(\varphi(v) \in \Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\).
Aby wykazać, iż \(\mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi = \mathrm{Ker}\,f\) udowodnimy dwa zawierania. Jeśli \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\), to w szczególności \(\varphi(v) = 0\), a więc też \(f(v) = \varphi(v) = 0\), czyli \(v \in \mathrm{Ker}\,f\).
Odwrotnie, niech \(v \in \mathrm{Ker}\,f\), czyli niech \(\varphi(v) = f(v) = 0\). Widzimy już, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi\). Zauważyliśmy też uprzednio, iż \(\psi(v) = -\varphi(v) = 0\), a więc \(v \in \mathrm{Ker}\,\psi\). Oznacza to, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\).
Rozwiązanie punktu 2.
Skorzystamy z ogólnego faktu, iż jeśli \(h \colon X \longrightarrow Y\) jest homomorfizmem przestrzeni liniowej \(X\) w przestrzeń \(Y\), to
Jako przykład, iż nierówność może stać się równością wystarczy rozważyć \(\varphi = \mathrm{id}_V\) oraz \(\psi = 0\) lub, jeśli nie chcemy homomorfizmów zerowych, \(\varphi = \mathrm{id}_V\) i \(\psi = -\mathrm{id}_V\).
Na koniec warto zauważyć, iż nie miały znaczenia ani charakterystyka ciała skalarów, ani założenie skończoności wymiaru przestrzeni wektorowej \(V\) (no chyba że ktoś strasznie nie lubi nieskończonych liczb kardynalnych).
Załóżmy, iż \(v \in \mathrm{Ker}(\varphi + \psi)\). Oznacza to, iż \(\varphi(v) + \psi(v) = 0\), a więc też dzięki jednorodności odwzorowania \(\psi\) mamy \(\varphi(v) = -\psi(v) = \psi(-v)\). W szczególności, \(\varphi(v)\) jest i w obrazie odwzorowania \(\varphi\), i w obrazie odwzorowania \(\psi\). Stąd więc \(\varphi(v) \in \Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\).
Aby wykazać, iż \(\mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi = \mathrm{Ker}\,f\) udowodnimy dwa zawierania. Jeśli \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\), to w szczególności \(\varphi(v) = 0\), a więc też \(f(v) = \varphi(v) = 0\), czyli \(v \in \mathrm{Ker}\,f\).
Odwrotnie, niech \(v \in \mathrm{Ker}\,f\), czyli niech \(\varphi(v) = f(v) = 0\). Widzimy już, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi\). Zauważyliśmy też uprzednio, iż \(\psi(v) = -\varphi(v) = 0\), a więc \(v \in \mathrm{Ker}\,\psi\). Oznacza to, iż \(v \in \mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi\).
Rozwiązanie punktu 2.
Skorzystamy z ogólnego faktu, iż jeśli \(h \colon X \longrightarrow Y\) jest homomorfizmem przestrzeni liniowej \(X\) w przestrzeń \(Y\), to
\(\displaystyle{ \dim X = \dim\mathrm{Ker}\,h + \dim\Im\,h.}\)
W naszym przypadku jest \(f \colon \mathrm{Ker}(\varphi + \psi) \longrightarrow \Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\), a więc
\(\displaystyle{ \dim\mathrm{Ker}(\varphi + \psi) = \dim(\mathrm{Ker}\,\varphi \cap \mathrm{Ker}\,\psi) + \dim\Im\,f.}\)
Pozostaje zauważyć, iż \(\Im\,f\) jest liniową podprzestrzenią całej przestrzeni \(\Im\,\varphi \cap \Im\,\psi\), a więc \(\dim\Im\,f \leqslant \dim(\Im\,\varphi \cap \Im\,\psi)\).Jako przykład, iż nierówność może stać się równością wystarczy rozważyć \(\varphi = \mathrm{id}_V\) oraz \(\psi = 0\) lub, jeśli nie chcemy homomorfizmów zerowych, \(\varphi = \mathrm{id}_V\) i \(\psi = -\mathrm{id}_V\).
Na koniec warto zauważyć, iż nie miały znaczenia ani charakterystyka ciała skalarów, ani założenie skończoności wymiaru przestrzeni wektorowej \(V\) (no chyba że ktoś strasznie nie lubi nieskończonych liczb kardynalnych).
-
- Użytkownik
- Posty: 264
- Rejestracja: 1 lut 2015, o 19:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 70 razy