Matematyka.pl

Rozważmy przekątną przestrzeni trójwymiarowej:

\(\displaystyle{ I =\left\{ \left( x,x,x\right)\Bigl| \ x \in \RR \right\}. }\)

Równoważnie, jest to prosta łącząca środek układu z punktem \(\displaystyle{ \left( 1,1,1\right). }\)

I teraz jest pytanie:

Jeśli mamy punkt \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \RR ^{3},}\) leżący poza tą przekątną \(\displaystyle{ I,}\) to jakie współrzędne będzie miał punkt powstały przez odbicie tego danego punktu, względem naszej przekątnej Czyli chodzi o punkt leżący na prostej przechodzącej przez ten dany punkt, prostopadłej do tej przekątnej, leżący w tej samej odległości od przekątnej co dany punkt, lecz po przeciwnej stronie, jakie ten punkt będzie miał współrzędne ??

Mi wychodzi, że ten punkt będzie miał współrzędne:

\(\displaystyle{ \left( x'-x, x'-y, x'-z\right), }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x'= \frac{x+y+z}{3}. }\)

Dobrze
(Nie jestem pewien czy nie zrobiłem gdzieś przypadkiem błędu, gdyż mam ułomną wyobraźnię trójwymiarową ).

Źle. I to nie jest kwestia wyobraźni przestrzennej, tylko elementarnej algebry liniowej z pierwszego semestru studiów matematycznych.

Punkt na prostej, czyli \(\displaystyle{ \left( \frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3}\right), }\) który jest dobrze wyznaczonym rzutem wyjściowego punktu na prostą \(\displaystyle{ I,}\) powinien być środkiem odcinka łączącego wyjściowy punkt i jego obraz w tej symetrii. A nie jest.

JK

A bo to jest tak, że współrzędne środka odcinka, to środki trzech odcinków łączących wspòłrzędne tych dwóch punktòw po kolejnych osiach?
Jeśli tak, to ułożyłem układ równań dla szukanego punktu \(\displaystyle{ \left( x'',y'', z''\right) }\):

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=\frac{x'' +x}{2}; \\ x'= \frac{y+ y'' }{2}; \\x'= \frac{z+z''}{2}; \end{cases} }\) gdzie \(\displaystyle{ x'= \frac{x+y+z}{3}. }\)

Proste wyliczenia dają, że:

\(\displaystyle{ x''= \frac{2y+2z-x}{3}; }\)
\(\displaystyle{ y''= \frac{2x+2z-y}{3}; }\)
\(\displaystyle{ z''= \frac{2x+2y-z}{3}. }\)

Teraz jest dobrze

Teraz tak.

JK