Matematyka.pl

Witam.

Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-1&2&0\\-2&4&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)

Liczę wartości własne:

\(\displaystyle{ \det(A-xI)=0}\)

otrzymuję:

\(\displaystyle{ x_{1}=0, x_{2}=3}\)

Następnie wektory własne:

\(\displaystyle{ (A-0I)x=0 \Rightarrow \mbox{Ker}(A-0I)= \left\{ \alpha \left[ 2, 1, 0\right], \alpha \in R \right\}}\)

\(\displaystyle{ (A-3I)=0 \Rightarrow \mbox{Ker}(A-3I)=\left\{ \alpha \left[ 1, 2, \beta \right], \alpha , \beta \in R \right\}}\)


Moje pytania:

Czy przy tej macierzy są tylko dwie wartości własne 0 i 3? Czy wektory własne są dobre, czy sposób w jaki zapisałem drugi z wektorów jest dobry?

Bardzo proszę o pomoc.

Jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ A-3I}\) jest przestrzeń \(\displaystyle{ \{[v_1,2v_1,v_3]:v_1,v_3\in\RR\}}\)

Zatem każdy wektor własny jest postaci \(\displaystyle{ [v_1,2v_1,v_3]}\), który możesz rozbić na dwa liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ [v_1,2v_1,0]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,0,v_3]}\). Te dwa liniowo niezależne wektory to wektory własne odpowiadające podwójnej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda =3}\) (możesz przyjąć \(\displaystyle{ v_1=v_3=1}\) )

Dzięki, a jeszcze jedna sprawa:

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}-1&2&0\\-2&4&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)


Chcę policzyć \(\displaystyle{ P^{-1}AP}\) i wychodzi mi coś takiego:

\(\displaystyle{ P^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\-1&-2&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P^{-1}A= \frac{1}{3} \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\5&-10&0\\0&0&9\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&-5&0\\0&0&3\end{array}\right]}\)

I to jest chyba źle... Dużo razy próbowałem liczyć i za każdym razem wychodzi mi to samo, gdzie jest błąd?

Macierz odwrotna jest na pewno źle policzona. Wyraz na przecięciu drugiej kolumny i drugiego wiersza ma zły znak.

A jak skonstruować bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) złożoną z tych wektorów własnych? Czy to będą właśnie te 3 wektory?

Tak, jeśli są niezależne