Matematyka.pl

Witam,
mam problem z pewną macierzą a dokładniej z określeniem jej wartości własnych. Oto ta macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 & 0 & -1 \\
0 & 3 & 0 \\
8 & 0 & 3\end{bmatrix}}\)

Przepraszam że tak to wygląda , ale nie wiem za bardzo jak to w LaTeX-u zrobić.

I teraz nie wiem czy dobrze robię bo wielomian z którego mam wyznaczyć wartości własne wynosi:

\(\displaystyle{ \alpha ^{3}+3 \alpha ^{2}+ \alpha -3 =0}\)

Mam prośbę żeby ktoś mi z tym pomógł, czy jak to źle zrobiłem czy może to jest dobrze, jeżeli tak to jak to dalej rozwiązać?

dobrze jest, ale czasami lepiej nie korzystać z reguły Sarrusa
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
-3 - \lambda & 0 & -1 \\
0 & 3 - \lambda & 0 \\
8 & 0 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda) \cdot (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} -3 - \lambda & -1 \\ 8 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(\lambda^2-1) = \\ = -(3-\lambda)(1-\lambda)(1+\lambda)}\)
skorzystałem z rozwinięcia Laplace'a względem środkowego wiersza (kolumny)

stosuj różne zabiegi (rozwinięcie Laplace'a, metoda eliminacji Gaussa, wyciąganie wartości przed wyznacznik), a będzie Ci lżej
a jak nie, to na końcu tw. Bezout i schemat Hornera

\(\displaystyle{ \lambda_1 = 3, \; k=1 \\
\lambda_2 = 1, \; k=1 \\
\lambda_2 = -1, \; k=1}\)

Dzięki za pomoc

P.S. I jeszcze mam pytanie, dlaczego przed wyrażeniem :

\(\displaystyle{ (3- \alpha )(1- \alpha )(1+ \alpha )}\) dałeś znak \(\displaystyle{ -}\)?

wyłączył minus z drugiego nawiasu