Rozwiązać układ równań metodą Gaussa
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y+2z-u=-1\\y+z-u=3\\-x+2y+3z+u=2 \end{array}}\)
Układ równań metodą Gaussa
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Układ równań metodą Gaussa
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-1&1&2&-1&-1\\0&1&1&-1&3\\-1&2&3&1&2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{1}\cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\-1&2&3&1&2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}+w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\0&1&1&2&3 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}- w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\0&0&0&3&0 \end{bmatrix}}\)
Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy \(\displaystyle{ 3u = 0, \ \ u= 0}\)
Z przedostatniego wiersza
\(\displaystyle{ y + z -u = 3, \ \ y+ z = 3,\ \ y = 3- z.}\)
Z pierwszego wiersza
\(\displaystyle{ x - y -2z + u = 1,\ \ x -3 +z -2z =1, \ \ x = 4 + z.}\)
Traktując zmienną \(\displaystyle{ z = t}\) jako parametr, otrzymujemy rozwiązanie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\\z\\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 +t \\3-t\\ t\\ 0 \end{bmatrix}, t\in \RR.}\)
\(\displaystyle{ w_{1}\cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\-1&2&3&1&2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}+w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\0&1&1&2&3 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}- w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&-2&1&1\\0&1&1&-1&3\\0&0&0&3&0 \end{bmatrix}}\)
Z ostatniego wiersza macierzy odczytujemy \(\displaystyle{ 3u = 0, \ \ u= 0}\)
Z przedostatniego wiersza
\(\displaystyle{ y + z -u = 3, \ \ y+ z = 3,\ \ y = 3- z.}\)
Z pierwszego wiersza
\(\displaystyle{ x - y -2z + u = 1,\ \ x -3 +z -2z =1, \ \ x = 4 + z.}\)
Traktując zmienną \(\displaystyle{ z = t}\) jako parametr, otrzymujemy rozwiązanie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\\z\\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 +t \\3-t\\ t\\ 0 \end{bmatrix}, t\in \RR.}\)