Matematyka.pl

mam rozwiazac metoda eliminacji gaussa uklad rownan:

x-y-z-2s+t=0
3x+4y-z+s+3t=0
x-8y+5z-9s+t=(-1)

macierz uzupelniona po wykonaniu przeksztalcen:

1 0 0 -1 1 1/7
0 1 0 +1 0 1/7
0 0 1 0 0 0

zgodnie z tw. kroneckera-cappeliego uklad ma nieskonczenie wiele rozw. zaleznych od 5-3=2 parametrow, czy parametry te wybieram dowolnie, tzn. czy moge napisac tak:

x-s+t=1/7 -> x=s-t+1/7
y+s=1/7 -> y=(-s)+1/7
z=0

gdzie s,t parametry R?

Jeżeli zapisz macierz układu równańm to musisz zapisać w nim również parametry s i t i dopiero z takiej macierzy wyznaczyć x, y i z. Jak nie radzisz sobie z tym przykładem, to mogę go rozpisać...

czyli od razu po stwierdzeniu, ze rzad macierzy jest mniejszy od liczby niewiadomych powinienem zapisac macierz 4x3, s i t umiescic w ostatniej jej kolumnie, czyli potraktowac je jak stale? skad mam wiedziec, ktore niewiadome traktowac jako parametry (s i t - moze x i y)? wiadomo tylko tyle, ze sa 2 parametry.

Rozwiązałem moim sposobem i wyszło, że:

\(\displaystyle{ \Large x=s-t+\frac{5}{42}}\)

\(\displaystyle{ \Large y=-s-\frac{5}{42}}\)

\(\displaystyle{ \Large z=-\frac{1}{8}}\)

Rozwiązania zależą od dwóch parametrów, co potwierdza twierdzenie Kroneckera - Capellego.

czyli trzeba przeksztalcic taka macierz:

1 -1 -1 (2s-t)
3 4 -1 (1-s-3t)
1 -8 5 (-2+9s-t)

?

jesli tak to musialem sie pomylic bo wyniki wyszly inne.

Nie... Układ równań zapisany w postaci macierzowej wygląda następująco:

1 -1 -1 -2s t | 0
3 4 -1 s 3t | 0
1 -8 5 -9s t | -1

Rozwiązując to, dostajesz:

\(\displaystyle{ \Large x=s-t+\frac{5}{42}}\)

\(\displaystyle{ \Large y=-s-\frac{5}{42}}\)

\(\displaystyle{ \Large z=-\frac{1}{8}}\)

calkowicie nie rozumiem dlaczego zapisywac parametry w macierzy glownej i to w dodatku w oddzielnych kolumnach

Jeśli coś Ci to rozjaśni, to nie musisz pisać w zapisie macierzy literek s i t, jednak nie ma to większej różnicy, bo wynik i tak będzie ten sam, możesz sprawdzić.

P.S. w odpowiedziach jest inne rozwiązanie ?

pomylilem sie w drugim wyrazie wolnym, powinno byc:

1 -1 -1 -2 1 | 0
3 4 -1 1 3 | 1
1 -8 5 -9 1 | -1

czyli:

1 -1 -1 -2 1 | 0
0 7 2 7 0 | 1
0 0 8 0 0 | 0

x = 3s - t + 1/7
y = 1/7 - s
z = 0

s,t dowolne.