Matematyka.pl

Przykład 1\(\displaystyle{ \begin{cases} px + 2y + 2z = 10\\ x + py + z = 4\\ x + y + z = 4\end{cases}}\)


Przykład 2\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 4z = 6\\ 2x + y + 10z = 14 \\ 3x + y + pz=20\end{cases}}\)

Próbowałem zrobić sam. W pierwszym wyszło mi y=0; z=6; x=2, więc niezależnie od P (także chyba źle)
W drugim przykładzie wyszło mi:
\(\displaystyle{ z=\frac{2}{p-14}}\)
\(\displaystyle{ y= 2 - \frac{2}{p-14}}\)
\(\displaystyle{ x = 6 - \frac{8}{p-14}}\)
Także chyba wychodzi nieskończona ilość rozwiązań, p różne od 14.

Zapewne wszystko źle, więc proszę o rozwiązanie : D

policz wyznaczniki

W pierwszym przykładzie otrzymałem: \(\displaystyle{ p^{2} -3p + 2}\)
W drugim przykładzie otrzymałem: \(\displaystyle{ p - 14}\)

Co z tym teraz zrobić? W pierwszym rozwiązać równanie kwadratowe?

W pierwszym rozwiązać równanie kwadratowe?

Tak. A w drugim liniowe.

Ok. W pierwszym dostaje 1 i 2, w drugim \(\displaystyle{ p \neq 14}\). Jak teraz opisać dla jakich p ile jest rozwiązań? Domyślam się, że dla X1 i X2 jest jedno, a dla innych \(\displaystyle{ \infty}\)? W drugim \(\displaystyle{ \infty}\) dla \(\displaystyle{ p \neq 14}\)?

Wiemy, że układ jest oznaczony, jeżeli wyznacznik różny od zera.
W pierwszym przykładzie będzie to dla: \(\displaystyle{ p \neq 1}\) i p \(\displaystyle{ \neq 2}\), a w drugim dla \(\displaystyle{ p \neq 14}\)
W pozostałych przypadkach układ jest albo nieoznaczony, albo sprzeczny.

No dobra, ale kiedy nieoznaczony, a kiedy sprzeczny. Nie mogę chyba na kolokwium napisać "w pozostałych nieoznaczony albo sprzeczny" : D

Do układów równań podstawiasz za p otrzymane wartości i porównujesz rzędy macierzy głównej i rozszerzonej (tw. Kroneckera-Capellego)
Możesz też to sprawdzić z pomocą wzorów Cramera.

No dobra, zrobiłem przykład pierwszy wzorami Cramera i wyszło mi

\(\displaystyle{ x = \frac{2p - 2 }{ p^{2} -3p + 2 }}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{4 p^{2} -10p + 10}{ p^{2} - 3p + 2 }}\)

Nadal nie wiem co mi to dało. Co mam podstawić pod p? Czy może to już jest odpowiedź? Wychodziłoby na to że jestes \(\displaystyle{ \infty}\) liczba rozwiązań (tak mi się wydaje)

To teraz podstawiaj \(\displaystyle{ p = 1}\) i \(\displaystyle{ p = 2}\) i wyciągaj wnioski. Wcześniej popraw \(\displaystyle{ z}\).

\(\displaystyle{ x = \frac{2p - 2 }{ p^{2} -3p + 2 }}\)

\(\displaystyle{ y = 0}\)

\(\displaystyle{ z = \frac{4 p^{2} -10p + 10}{ p^{2} - 3p + 2 }}\)


Kiedy podstawie 1 lub 2 to z \(\displaystyle{ { p^{2} -3p + 2 }}\) wyjdzie mi zero, a w mianowniku nie może być 0.

Jeżeli otrzymujemy w wyniku symbol \(\displaystyle{ \left [ \frac{0}{0} \right ]}\), wtedy mamy do czynienia z układem nieoznaczonym. Dla \(\displaystyle{ p = 1}\) jest to więc układ nieoznaczony, a dla \(\displaystyle{ p = 2}\) - układ sprzeczny.

Podstawiłem do macierzy p = 1 i wyszło mi
\(\displaystyle{ x = -2}\)
\(\displaystyle{ y= 6-z}\)

Jeśli układ jest układem Cramera to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Układne Cramera jest jesli wyznacznik jest różny od zera, czyli dla \(\displaystyle{ p \neq 1}\) i dla \(\displaystyle{ p \neq 2}\). A czy dla 1 i 2 nie powinienem właśnie zrobić jak zrobiłem? Tj. jaki wyjdzie mi wyznacznik po podstawieniu?

A czy dla 1 i 2 nie powinienem właśnie zrobić jak zrobiłem?

Co dokładnie masz na myśli?

Tzn. Podstawić pod p te wartości (1 i 2). Zasadniczo wychodzi tak jak napisałeś. Dla 1 nieoznaczony, a dla 2 sprzeczny.