Udowodnij, że zbiór funkcji \(\displaystyle{ f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\) postaci \(\displaystyle{ f(z) = a + bz + c\overline{z} + d|z|}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{C}}\), jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Podaj przykład bazy tej przestrzeni. Czy funkcja \(\displaystyle{ g(z) = |z| ^{2} }\)jest elementem tej przestrzeni?
Nie wiem do końca jak się do tego zabrać, dzięki za pomoc.
Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową
Dość znanym jest fakt, że zbiór wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ \CC}\) w \(\displaystyle{ \CC}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\). Wystarczy zatem pokazać, że Twój zbiór jest podprzestrzenią liniową tej przestrzeni, a w tym celu wystarczy pokazać zamkniętość na działania.
JK
JK
Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową
Dziękuję, a jak sprawdzić czy \(\displaystyle{ g(z)}\) jest jej elementem?
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 19:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ g}\) jest elementem tej przestrzeni (\(\displaystyle{ g(z)}\) to wartość funkcji w punkcie, a nie funkcja).
Wówczas istnieją \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{C}}\) takie, że dla wszystkich \(\displaystyle{ z\in\CC}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a + bz+c\overline{z}+d|z|=|z|^2}\).
Wstawienie kilku konkretnych \(\displaystyle{ z}\) szybko prowadzi do sprzeczności.
Wówczas istnieją \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{C}}\) takie, że dla wszystkich \(\displaystyle{ z\in\CC}\) zachodzi
\(\displaystyle{ a + bz+c\overline{z}+d|z|=|z|^2}\).
Wstawienie kilku konkretnych \(\displaystyle{ z}\) szybko prowadzi do sprzeczności.