Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
xislay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 20 lis 2022, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową

Post autor: xislay »

Udowodnij, że zbiór funkcji \(\displaystyle{ f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\) postaci \(\displaystyle{ f(z) = a + bz + c\overline{z} + d|z|}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \mathbb{C}}\), jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Podaj przykład bazy tej przestrzeni. Czy funkcja \(\displaystyle{ g(z) = |z| ^{2} }\)jest elementem tej przestrzeni?

Nie wiem do końca jak się do tego zabrać, dzięki za pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową

Post autor: Jan Kraszewski »

Dość znanym jest fakt, że zbiór wszystkich funkcji z \(\displaystyle{ \CC}\) w \(\displaystyle{ \CC}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \RR}\). Wystarczy zatem pokazać, że Twój zbiór jest podprzestrzenią liniową tej przestrzeni, a w tym celu wystarczy pokazać zamkniętość na działania.

JK
xislay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 20 lis 2022, o 12:36
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową

Post autor: xislay »

Dziękuję, a jak sprawdzić czy \(\displaystyle{ g(z)}\) jest jej elementem?
Ostatnio zmieniony 27 lis 2022, o 19:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Udowodnij, że zbiór funkcji jest przestrzenią liniową

Post autor: matmatmm »

Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ g}\) jest elementem tej przestrzeni (\(\displaystyle{ g(z)}\) to wartość funkcji w punkcie, a nie funkcja).

Wówczas istnieją \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{C}}\) takie, że dla wszystkich \(\displaystyle{ z\in\CC}\) zachodzi

\(\displaystyle{ a + bz+c\overline{z}+d|z|=|z|^2}\).

Wstawienie kilku konkretnych \(\displaystyle{ z}\) szybko prowadzi do sprzeczności.
ODPOWIEDZ