Matematyka.pl

Załóżmy, że \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ n > 1}\).
(1) Udowodnić, że poniższa funkcja jest iloczynem skalarnym na przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n,n} }\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\): (2) Niech \(\displaystyle{ B_k \in \mathbb{R}^{n,n}}\) oznacza macierz, w której \(\displaystyle{ k}\)-ta kolumna to wektor \(\displaystyle{ [1, 1, . . . , 1] ^{T} }\), a pozostałe kolumny to wektory zerowe. Wyznacz rzut ortogonalny macierzy \(\displaystyle{ I_n}\) na podprzestrzeń span\(\displaystyle{ (B_1, B_2, . . . , B_n)}\).

Do sprawdzenia pierwszej części wystarczy sprawdzenie warunków na iloczyn skalarny. Standardowo; symetria


Liniowość (względem współrzędnych) idzie z liniowości \(\displaystyle{ \sf{tr}}\) oraz \(\displaystyle{ \top}\). Niezdegenerowanie sprowadza się do obserwacji, że na przekątnej \(\displaystyle{ A^{\top}A}\) pojawiają się kwadraty. Więc \(\displaystyle{ \left\langle A,A\right\rangle \ge 0}\) i równość zajdzie wyłącznie dla \(\displaystyle{ A=0}\). Drugą część robił bym tak, że \(\displaystyle{ I_n}\) zapisał bym jako część zrzutowaną na \(\displaystyle{ \text{span}(B_1,\dots,B_2)}\) i część należącą do ortogonalnego dopełnienia. To znaczy \(\displaystyle{ \RR^{n \times n}=\text{span}(B_1,\dots,B_2)\oplus \text{span}(B_1,\dots,B_2)^{\bot}}\) zatem możemy zapisać


gdzie \(\displaystyle{ \alpha_1B_1+\dots +\alpha_nB_n\in \text{span}(B_1,\dots,B_2)}\), \(\displaystyle{ B^{\bot}\in \text{span}(B_1,\dots,B_2)^{\bot}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha _i}\) to skalary. Widać teraz, że dla \(\displaystyle{ i=1,2,\dots,n}\)

Zatem \(\displaystyle{ \text{proj}_{\text{span}(B_1,\dots,B_2)}(I_n) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\left\langle I_n,B_i\right\rangle}{\left\langle B_i,B_i\right\rangle} B_i }\).