Matematyka.pl

Mam wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy:
\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{ccc}
0&3&2\\
0&-2&0\\
2&2&0
\end{array}\right]}\)
korzystając z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, koniecznie ta metodą. Nie przerabialiśmy tego na ćwiczeniach, nigdzie w internecie nie mogę znaleźć przykładu, w polecanej na studiach literaturze też nie. Znalazłam jedynie sam zapis twierdzenia który niestety nic mi nie mówi. Czy mogłabym bardzo ładnie poprosić o pokazanie mi krok po kroku jak powinnam rozwiązać to zadanie z komentarzem co jest robione w danym kroku, lub chociaż o sam algorytm postępowania?

Zapisz wielomian charakterystyczny, potem podpowiem co dalej.

\(\displaystyle{ A _{\lambda} =$$\left[\begin{array}{ccc}
0-\lambda&3&2\\
0&-2-\lambda&0\\
2&2&0-\lambda
\end{array}\right],detA=(-\lambda) (-2-\lambda) (-\lambda)-2(-2-\lambda) 2=-\lambda ^{3}-2\lambda^{2}+4\lambda+8}\)

Po co mi on? Umię oczywiście go liczyć, ale nie wiem jak postępować dalej w tej metodzie.

Zakładając, że jest dobrze obliczony, tw. Cayley'a Hamiltona orzeka:

\(\displaystyle{ -A ^{3}-2A^{2}+4A+8=0}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 8A^{-1}=A ^{2}+2A-4}\)
i możesz z tego wyliczyć \(\displaystyle{ A^{-1}}\)

Nie wpadłabym na takie przekształcenie, bardzo dziękuję ca pomoc.

Ale jeszcze jedno drobne pytanie. Zapis macierz - liczba oznacza macierz odjąć liczba razy I?

Aha, tak, powinienem pisać \(\displaystyle{ 4\cdot I}\), ale często się skraca to pisząc \(\displaystyle{ 4}\).