Matematyka.pl

Sprawdzić (dowód/kontrprzykład), czy następujące odwzorowania są od-
wzorowaniami liniowymi:
(a) f : C → C, f(x) = x + 2,
(b) f : R → R, f(x) = cos x,
(c) f : R 3 x → −5x ∈ R,
(d) g : \(\displaystyle{ C ^{2}}\) → C, g(x) = \(\displaystyle{ x ^{2}}\) + 3\(\displaystyle{ x_{2}}\) ,
(e) f : \(\displaystyle{ R^{2}}\) → \(\displaystyle{ R^{3}}\), f(x) = (x1, x2, x1 + x2),
(f) h: R[x] 3 w → w(0)

O ile orientuję się w temacie to aby było odwzorowanie liniowe mósi spełniać 2 warunki:
f(ax+by)= af(x) + bf(y) - addytywność
f(ax)= af(x) - jednorodność

Sprawdziłem niektóre z nich ale nie wiem czy dobrze sprawdźcie i poprawcie a jak umiecie pozostałe to spróbujcie rozwiązać. Dzięki

A) NIE
B) NIE
C) TAK
D) NIE WIEM
E) TAK
F) NIE WIEM

w podpunkcie a) f(x) = x + 2
nie jest bo jak podstawimy za x -> 2x to w warunku jednorodności
będziemy mieli f(2x)= 2x + 2 a to jest różne od 2f(x) bo 2f(x) = 2x +4
b) tak samo jak a) bo cos(2x) nie jest równe 2cosx
c) będzie bo jak sprawdzimy warunki:
- addytywność
f(ax+by) = 5(ax+by) = a(5x) + b(5y) = af(x) + bf(y)
- jednorodność
f(ax) = 5(ax) = a (5x) = af(x)
e) 2(ax1+bx2)=2(x1,x2,x1+x2)=a(2x1)+b(2x2)||| f(2x)=(2,2,4) = 2f(x)=(2,2,4) czyli jest odwzorowane liniowo

f(ax+by)= af(x) + bf(y) - addytywność

to nie jest addytywność
addytywność to f(a+b)=f(a)+f(b)
to co napisałeś to def. liniowości, tzn. tamten warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy funkcja jest jednocześnie jednorodna i addytywna (czyli liniowa).

No dobrze dużej zmiany do zadania nie wprowadziłeś. Mógłbyś sprawdzić czy to dobrze sprawdzam?