Matematyka.pl

Cześć,
przygotowuję się na kolokwium i nie mogę poradzić sobie z najprostszym zadaniem:

Sprawdzić, czy funkcja <.,.>: \(\displaystyle{ R^{n} \times R^{n} \Rightarrow R^{n}}\) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\), jeśli:

b) n=2, <x,y>=\(\displaystyle{ 2x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + 3x_{2}y_{2}}\)
c) n=3, <x,y>=\(\displaystyle{ 2x_{1}y_{1} + 3x_{2}y_{2} +x_{3} y_{3}}\)

Znam pięć warunków na dowodzenie ale jak to wykorzystać w praktyce? Poszukałem zadań w internecie i podobnych nie znalazłem.

Będę wdzięczny za pokazanie wskazówek lub drogi do rozwiązania tego zadania.

Skoro znasz warunki, jakie musi spełniać funkcja, by być iloczynem skalarnym, to po prostu starasz się udowodnić, że są one spełnione (chyba że od razu widzisz, iż któryś nie jest), a jeśli dowód nie wychodzi, to zastanawiasz się czemu i albo poprawiasz rozumowanie tak, aby ukończyć dowód, albo konstruujesz kontrprzykład wskazujący, że to nie jest iloczyn skalarny.

W obydwu przypadkach wychodzi, że jest to iloczyn skalarny.-- 24 kwi 2016, o 02:28 --Dobra, bo zaraz napiszesz, że to Ci nic nie mówi - dam gotowe rozwiązanie i możesz se iść na wódeczkę.
Nie wiem, jaka może być motywacja ludzi, którzy wrzucają zadanie polegające tylko na sprawdzeniu definicji, ale suponuję, że tylko taka - gotowiec i można się nastukać.
b) oczywiście \(\displaystyle{ x=(x_{1},x_{2})}\) oraz \(\displaystyle{ y=(y_{1},y_{2})}\). Wtedy
\(\displaystyle{ <x,y>=2x_{1}y_{1} + x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + 3x_{2}y_{2}}\), zaś
\(\displaystyle{ <y,x>=2y_{1}x_{1}+y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1}+3y_{2}x_{2}=2x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}=<x,y>}\) - skorzystałem tylko z przemienności dodawania i mnożenia w \(\displaystyle{ \RR}\).
Ponadto \(\displaystyle{ <x,x>=2x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} \ge 0}\) i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=\vec{0}}\)

Jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ t\in \RR}\), to \(\displaystyle{ <tx,y>=2tx_{1}y_{1}+tx_{1}y_{2}+tx_{2}y_1+3tx_{2}y_{2}=t<x,y>}\) i analogicznie \(\displaystyle{ <x,ty>=t<x,y>}\).
Ponadto dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z \in \RR^{2}}\) mamy \(\displaystyle{ <x+y,z>=<x,z>+<y,z>}\), bo lewa strona to \(\displaystyle{ 2(x_{1}+y_{1})z_{1}+(x_{1}+y_{1})z_{2}+(x_{2}+y_{2})z_{1}+3(x_{2}+y_{2})z_{2}=2x_{1}z_{1}+x_{1}z_{2}+x_{2}z_{1}+3x_{2}z_{2}+2y_{1}z_{1}+y_{1}z_{2}+y_{2}z_{1}+3y_{2}z_{2}=<x,z>+<y,z>}\).
Ponadto zauważmy, że praktycznie nic się nie zmienia przy sprawdzaniu warunku \(\displaystyle{ <x,y+z>=<x,y>+<x,z>}\), tj. addytywności ze względu na drugą współrzędną - w sumie tylko tam gdzie była dwójka, jest trójka i na odwrót.
Przykład c) zrób podobnie.

Dziękuję za odpowiedź! Rzeczywiście jest to dosyć łatwe. Mam nadzieję, że w przyszłości obędzie się bez zbędnych złośliwości. Miłego dnia!