Matematyka.pl

Prosiłbym o wyjaśnienie mi metody na rozwiązanie problemu:
Mamy podany wektor v i podprzestrzeń M podaną jako macierz wektorów bazowych, jak policzyć rzut tego wektora na podaną podprzestrzeń.

Niech \(\displaystyle{ U}\) to będzie przestrzeń rozpięta na wektorach \(\displaystyle{ e_1,\ldots,e_n}\). Chcemy wyznaczyć rzut \(\displaystyle{ P_Uv}\) wektora \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ U}\). By móc to zrobić, potrzebujemy bazy ortonormalnej podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\). Jeżeli znamy bazę \(\displaystyle{ U}\), to możemy użyć metody Grama-Schmidta, by z bazy \(\displaystyle{ e_1,\ldots,e_n}\) otrzymać bazę ortonormalną \(\displaystyle{ f_1,\ldots,f_n}\). Mając taką bazę, rzut \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ U}\) otrzymujemy ze wzoru: \(\displaystyle{ P_Uv=\langle v,f_1\rangle f_1+\ldots+\langle v,f_n\rangle f_n}\).

Generalnie, by to wszystko uzasadnić, to trzeba by tu sporo teorii wyłożyć.