Matematyka.pl

Witam!
Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych:
\(\displaystyle{ rz \left[\begin{array}{ccccc}3&2&0\\4&2&-1\\1&0&-1\\1&2&2\\2&2&1\end{array}\right]}\)
Za pomocą operacji elemntarnych otzrymałem taką macierz:
\(\displaystyle{ rz \left[\begin{array}{ccccc}0&0&0\\4&2&-1\\2&2&1\\1&2&2\\0&0&0\end{array}\right]}\)
i obliczyłem, że rz=2, ale mam wskazać te wektory, które tworzą bazę i co się okazało? w odpowiedzi podano, że należy wybrać dwa dowolne wektory spośród podanych... dlaczego? Przecież dwa z nich wykreśliłem, w kolumnie same 000 ?

Skoro rząd jest równy 2, to znaczy, że przestrzeń ma wymiar 2, to znaczy że ma 2 wektory bazowe. Wystarczy więc wybrać - z oryginalnego zestawu wektorów generujących! - dowolne dwa wektory liniowo niezależne - a dwa wektory są liniowo niezależnie wtedy, gdy jeden nie jest wielokrotnością drugiego. Stąd taka odpowiedź.

Btw, jak zbudowałeś tą macierz?

Pozdrawiam.

1) \(\displaystyle{ W_{1}-W_{5}}\)
2)\(\displaystyle{ W_{3}+W_{4}}\)

Nic nie rozumiem Pytałam o sposób stworzenia pierwszej macierzy.

Jeśli chodzi o rząd, to nie łatwiej tak?

\(\displaystyle{ rz \left[ \begin{array}{ccccc}3&2&0 \\ 4&2&-1 \\ 1&0&-1 \\ 1&2&2 \\ 2&2&1 \end{array}\right]=K1+K3=rz \left[ \begin{array}{ccccc}3&2&0 \\ 3&2&-1 \\ 0&0&-1 \\ 3&2&2 \\ 3&2&1 \end{array} \right]=rz \left[ \begin{array}{cccc}2&0 \\ 2&-1 \\ 0&-1 \\ 2&2 \\ 2&1 \end{array} \right]=2}\)

Pozdrawiam.