Rozwiąż równanie w ciebie liczb zespolonych

Doxik · Post autor: **Doxik** » 10 lut 2011, o 00:09

\(\displaystyle{ \left| z\right| + z = 8 + 4i}\)
Jak rozwiązać takie coś ?
Próbowałem to zrobić to zrobiłem tak ale niby jest to zle.
\(\displaystyle{ \left| z\right| + z = 8 + 4i}\)

Niech \(\displaystyle{ z = x + yi}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{ x^{2} + y ^{2} } + x + yi = 8 + 4i\\
2x + y + yi = 8 + 4i\\
\begin{cases} 2x+y=8\\y=4\end{cases}}\)

No i z tego wyszło mi
\(\displaystyle{ y = 4 , x = 2}\)

Czemu to jest zle ;P ?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 10 lut 2011, o 00:14

Nawet mnie nie strasz...
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + y^2}\neq x + y}\)

Doxik · Post autor: **Doxik** » 10 lut 2011, o 00:21

hahahah ojej jaki żal xD
A mógł by ktoś to rozwiązac ?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 10 lut 2011, o 00:30

Na początek zauważamy, że \(\displaystyle{ \Im |z| = 0}\), tak więc \(\displaystyle{ \Im z = 4}\) (z modułu części urojonej obecnej po prawej stronie nie dostaniemy, więc musi ona pochodzić bezpośrednio od szukanej liczby). Wiedząc to, nasze równanie sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Re z + 3^2} + \Re z = 8}\)
Skąd:
\(\displaystyle{ \Re z = 3}\)
Więc i ostatecznie:
\(\displaystyle{ z = 3 + 4i}\)

Tak na szybko.