Matematyka.pl

Jak takie równanie najszybciej rozwiązać? Chyba da się to zrobić na piechotę obliczając po kolei każdą macierz i po wymnażać, ale pytam o szybszy pomysł.

Zadanie
Z równania \(\displaystyle{ (A-I)^T(X-I)A^{-1}B^T=A}\) wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ X}\), gdy \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3&1\\1&2\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} 3&1\\5&2\end{bmatrix}}\)

Można sprawdzić, że wszystkie macierze \(\displaystyle{ A-I, A, B}\) są odwracalne. Ponadto dla dowolnej macierzy odwracalnej \(\displaystyle{ C}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (C^T)^{-1}=(C^{-1})^T}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (A-I)^T(X-I)A^{-1}B^T=A}\)
mnożymy z lewej obie strony równania przez \(\displaystyle{ ((A-I)^T)^{-1}}\):
\(\displaystyle{ (X-I)A^{-1}B^T=((A-I)^T)^{-1}A}\)
teraz z prawej strony przez \(\displaystyle{ (B^T)^{-1}}\):
\(\displaystyle{ (X-I)A^{-1}=((A-I)^T)^{-1}A(B^T)^{-1}}\)
i z prawej strony przez \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ (X-I)=((A-I)^T)^{-1}A(B^T)^{-1}A}\)
dodajemy \(\displaystyle{ I}\) stronami:
\(\displaystyle{ X=((A-I)^T)^{-1}A(B^T)^{-1}A+I}\)
Wygładzamy:
\(\displaystyle{ X=((A-I)^{-1})^TA(B^{-1})^{T}A+I}\)
Teraz już trzeba mnożyć macierze.

Coś takiego mi wyszło:

\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&2\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}3&1\\1&2\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}2&-5\\-1&3\end{array}\right]
\left[\begin{array}{cc}3&1\\1&2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

Po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{cc}3&-21\\-1&24\end{array}\right]}\)