Czym one się różnią i jak je obliczać?Wyznaczyć przestrzenie własne \(\displaystyle{ V_λ}\) oraz przestrzenie pierwiastkowe \(\displaystyle{ V(λ)}\) dla poszczególnych wartości własnych, sprowadzając odpowiednie macierze do postaci macierzy schodkowych.
Przestrzenie wartości własnych
-
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 20
- Podziękował: 12 razy
Przestrzenie wartości własnych
Witam, mam krótkie pytanie. Otóż mam zadanie o treści:
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Przestrzenie wartości własnych
Dla funkcji liniowej \(\displaystyle{ f : V \to V}\) przestrzeń własna to zbiór
\(\displaystyle{ V_{\lambda} = \{ v \in V : f(v) = \lambda v \} = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})}\),
a przestrzeń pierwiastkowa to zbiór
\(\displaystyle{ V(\lambda) = \{ v \in V : (\exists n \in \mathbb{N}) \, (f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n(v) = 0 \} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id} )^N}\),
gdzie \(\displaystyle{ N = \dim V}\). Oblicza się je z definicji - jeśli na przykład \(\displaystyle{ V = \RR^N}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest dana macierzą \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})}\), to \(\displaystyle{ V_{\lambda}}\) jest zbiorem rozwiązań \(\displaystyle{ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I) X = 0}\), a \(\displaystyle{ V(\lambda)}\) to zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ X}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I)^N X = 0}\).
\(\displaystyle{ V_{\lambda} = \{ v \in V : f(v) = \lambda v \} = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})}\),
a przestrzeń pierwiastkowa to zbiór
\(\displaystyle{ V(\lambda) = \{ v \in V : (\exists n \in \mathbb{N}) \, (f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n(v) = 0 \} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id})^n = \ker ( f - \lambda \cdot \mathrm{id} )^N}\),
gdzie \(\displaystyle{ N = \dim V}\). Oblicza się je z definicji - jeśli na przykład \(\displaystyle{ V = \RR^N}\) i \(\displaystyle{ f}\) jest dana macierzą \(\displaystyle{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R})}\), to \(\displaystyle{ V_{\lambda}}\) jest zbiorem rozwiązań \(\displaystyle{ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{pmatrix}}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I) X = 0}\), a \(\displaystyle{ V(\lambda)}\) to zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ X}\) równania \(\displaystyle{ (A - \lambda I)^N X = 0}\).