Matematyka.pl

Hej

Czy mógłby ktoś powiedzieć jak mam rozwiązać takie zadanie ?:)

Rozważmy przestrzeń wektorową \(\displaystyle{ V= \RR_{2x2}}\) i dwie jej podprzestrzenie \(\displaystyle{ V_{1}:=\left\{ A \in \RR_{2x2} : [1,1]A=O \right\}, V_{2}:=\left\{A \in \RR_{2x2} : A\left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right] = O \right\}}\)
Znaleźć równania opisujące następujące podprzestrzenie: \(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\), \(\displaystyle{ V_{1} + V_{2}}\) oraz przykład bazy dla każdej z nich.

Z góry dziękuję za pomoc i poświęcony czas
Pozdrawiam!

To może warto wypisać "jawnie" jak wyglądają \(\displaystyle{ V_1}\) i \(\displaystyle{ V_2}\)?

Gdzie sie blokujesz?
Najpierw zacznij od ustalenia pewnej macierzy \(\displaystyle{ A}\) i wykonaj działanie na warunku pierwszej podprzestrzeni. Może coś zauważysz

Kacperdev pisze:Gdzie sie blokujesz?

Nie wiem jak zacząć rozwiązywać coś takiego, bo mnie ostatnio nie było na zajęciach :/

Twoja podpowiedź jest na pewno bardzo cenna, ale nie potrafię z niej skorzystać.

Niech

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \ \ \bigwedge_{0<i , j<3} \ a_{ij} \in \RR}\)

Teraz wykonaj działanie:

\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] = 0}\)

To stworzy Ci pewien układ równań.

To ten układ równań będzie wyglądał jakoś tak?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11} + a_{21} =0 \\ a_{12} + a_{22} = 0 \end{cases}}\)

Co mam z tym zrobić ?:p
Wyliczyć sobie ze dwie wartości?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11} = -a_{21} \\ a_{12} = -a_{22} \end{cases}}\)

Trochę ta druga podprzestrzeń mnie zastanawia. No bo mam tam zapisane, że \(\displaystyle{ A \in \RR_{2x2}}\).
Jak zrobię macierz \(\displaystyle{ 2x2}\) to nie przemnożę jej przecież przez \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]}\) ?

przemnożysz

Tak, dobry Ci wyszedł układ.

Więc każda macierz postaci:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-a_{21}&-a_{22}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \in V_{1}}\)
łatwo wskazać teraz bazę tej przestrzeni. (2 macierze).



Teraz to samo zrób z drugą macierzą. Układ równan złożony ze wszystkich warunków będzię wyznaczać
\(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\)

Suma tych przestrzeni to wszystkie możliwe kombinacje liniowe obu baz oddzielnie.

Nie bardzo wiem, jak wskazać tez bazy...
Czy chodzi o coś takiego?

\(\displaystyle{ a_{11} \begin{bmatrix} -1&0 \\ 1&0 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ a_{12} \begin{bmatrix} 0&-1 \\ 0&1 \end{bmatrix}}\)

A wracajac do mnożenia tej drugiej macierzy to będzie po prostu układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a_{11} =0 \\ 2a_{21}=0 \end{cases}}\)
?

Dokładnie tak. To jest przykładowa baza.

Układ będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3a_{11}+ 2a_{12} =0\\ 3a_{21} + 2a_{22}=0\end{cases}}\)

Dobra to teraz \(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\) to będzie układ równań taki jak niżej ?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{11} + a_{21}=0 \\ a_{12} + a_{22} =0 \\ 3a_{11} + 2a_{12}=0 \\ 3a_{21} + 2a_{22}=0 \end{cases}}\)


Suma \(\displaystyle{ V_{1} + V_{2}}\)
To jak napisałeś wszystkie kombinacje liniowe obu baz oddzielnie, czyli w tym wypadku, dla dwóch pierwszych baz, które mamy już wyżej napisane chodzi tylko o zmiane znaku przy jedynkach? :p

\(\displaystyle{ V_{1} \cap V_{2}}\) tak.

Zacznij własnie od tego. Dzieki temu ustalisz jakiego wymiaru będzie \(\displaystyle{ V_{1} + V_{2}}\) i czego masz szukać.