Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ R^{S}}\) oznacza przestrzeń funkcji określonych na ziorze S o wartościach w ciele liczb rzeczywistych. Zbadać, które z podanych funkcji \(\displaystyle{ f(x) \in R^{S}}\) stanowią podprzestrzeń w \(\displaystyle{ R^{S}}\):

a) funkcje przyjmujące wartość a w danym punkcie \(\displaystyle{ s \in S}\)

b)funkcje przyjmujące wartość a we wszystkich punktach podzbioru \(\displaystyle{ T \subseteq S}\)

c) funkcje, które maja granicę a, gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\), dla S=R

d) funkcje, które mają co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości dla S=R

proszę o uzasadnienie odpowiedzi, bo kompletnie nie rozumiem tego;/

Znasz warunki na to, że coś jest podprzestrzenią liniową? Musisz sprawdzić, że jeżeli weźmiesz jakieś dwa elementy z podprzestrzeni liniowej i dowolne dwa skalary, to ich kombinacja liniowa należy do tej podprzestrzeni. Na przykład w a):

Niech funkcje f,g i należą do zbioru opisanego w podpunkcie a. To znaczy:
\(\displaystyle{ f(s)=g(s)=a \in \mathbb{R}}\).
Sprawdźmy czy ich suma (czyli kombinacja liniowa za skalarami równymi 1) należy do tego zbioru.
Zauważ, że \(\displaystyle{ f(s)+g(s) = a+a = 2a=a \Leftrightarrow a=0}\).
Czyli kiedy \(\displaystyle{ a \neq 0}\), to zbiór z podpunktu a, nie jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^S}\).
Należy jeszcze sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\) funkcja \(\displaystyle{ c*f}\) należy do zbioru opisanego w podpunkcie a). Zakładam oczywiście dalej, że \(\displaystyle{ a=0}\), bo w innym przypadku to nie ma sensu, bo na pewno nie będzie podprzestrzenią (patrz wyżej)
Mamy coś takiego
\(\displaystyle{ c*f(s)=c*0=0}\).
Czyli dla a=0 opisany wzór stanowi podprzestrzeń liniową.

Napisałem na początku, że musimy sprawdzić czy kombinacja liniowa należy do podprzestrzeni, a ja rozbiłem to na dwa etapy. Można robić to tak i tak. Jest to równoważne.

aha..no powiedzmy ze rozumiem
a co z b)-d) ?

Wszystkie warunki sprawdzasz w podobny sposób.

a moglbys same odp podac? jakby cos mi nie pyklo;)

Mam nadzieję, że będzie dobrze:
b) tak dla a=0, w przeciwnym wypadku nie (to tak na oko, ale raczej mam rację),
c) jak wyżej,
d) tak.