\(\displaystyle{ F(A)(x) = [1, x] \cdot A \cdot \begin{bmatrix}1\\x\\x ^{2} \end{bmatrix} }\), dla \(\displaystyle{ A \in\mathbb{R} ^{2, 3} }\).
(a) Udowodnij, że \(\displaystyle{ F}\) jest przekształceniem liniowym z przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2,3}}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_3}\) (obie nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).(b) Wyznacz bazę podprzestrzeni \(\displaystyle{ ker F}\).
(c) Podaj przykład przestrzeni \(\displaystyle{ V \subset \mathbb{R}^{2,3}}\) (wskazując jej bazę) takiej, że \(\displaystyle{ F|_V \in L(V, \mathbb{R}[x]_3)}\) jest izomorfizmem lub udowodnij, że taka podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\) nie istnieje.