przekształcenia liniowe

nemesis666 · Post autor: **nemesis666** » 22 sty 2013, o 22:09

Witam, mógłby ktoś rozwiązać te zadania? Nie bardzo wiem jak to zrobić.
Trzeba sprawdzić czy przekształcenia T są przekształceniami liniowymi w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{2}}\) w \(\displaystyle{ R^{2}}\).

\(\displaystyle{ T([x, y] ^{T})= [y, x]^{T}

T([x, y] ^{T})= [x ^{2}, y^{2}]^{T}

T([x,y] ^{T})=[x+y, x+y] ^{T}}\)
T nad nawiasem oznacza transponowanie.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 sty 2013, o 22:16

Co należy zrobić, by sprawdzić, czy odwzorowania są liniowe? Sprawdzić, czy spełniają definicje odwzorowania liniowego. Nic trudnego...

nemesis666 · Post autor: **nemesis666** » 22 sty 2013, o 22:21

a możesz zrobić jakiś przykład? bo niby mam jakąś definicję i wzorek ale nie bardzo wiem jak to użyć.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 sty 2013, o 22:37

\(\displaystyle{ T(\alpha x_1+\beta x_2,y)=(y,\alpha x_2+\beta x_2)=(y,\alpha x_1)+(y,\beta x_2)}\)

\(\displaystyle{ \alpha T(x_1,y)+\beta T(x_2,y)=(\alpha y,\alpha x_1)+(\beta y,\beta x_2)=(\alpha y+\beta y, \alpha x_1+\beta x_2)}\)

Wniosek - nie jest liniowe na pierwszą współrzędną.

nemesis666 · Post autor: **nemesis666** » 22 sty 2013, o 22:43

nadal nie rozumiem skąd to się wzięło. przede wszystkim dlaczego x jest z indeksem a y bez.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 22 sty 2013, o 23:08

To jest sprawdzenie definicji. Jeśli nie rozumiesz zapisu definicji, to ja Ci nie jestem w stanie pomóc...

nemesis666 · Post autor: **nemesis666** » 22 sty 2013, o 23:36

po prostu powiedz mi dlaczego x jest z indeksami a y nie. bo tego nie ogarniam. zapis rozumiem, tylko nie bardzo wiem dlaczego te x i y tak zapisane są. co strona to inne zapisy a żadnego wytłumaczenia.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 23 sty 2013, o 09:25

Po pierwsze zapomnij o tym, co napisałem przy uzasadnianiu nieliniowości. Bardzo ale to bardzo źle zrozumiałem jak odwozorowanie działa.

Powinno być:

\(\displaystyle{ T(\alpha \left[ x_1 , y_1\right]+\beta \left[ x_2 , y_2 \right] )=}\)

\(\displaystyle{ T(\left[ \alpha x_1+\beta x_2,\alpha y_1+\beta y_2\right])=}\)

\(\displaystyle{ \left[ \alpha y_1+\beta y_2 , \alpha x_1 +\beta x_2\right]=}\)

\(\displaystyle{ \alpha \left[ y_1,x_1\right]+\beta \left[ y_2,x_2\right]=}\)

\(\displaystyle{ \alpha T(\left[x_1,y_1\right])+\beta T( \left[x_2,y_2\right])}\)

Zatem jest liniowe.

A indeksy są takie, bo mogą takie być. Można zamiast indeksowania brać parę o nazwie \(\displaystyle{ [a,b]}\) i \(\displaystyle{ [c,d]}\) i na nich liczyć. To tylko symbole, które można zmieniać bez zmian jakościowych i ilościowych.