Cześć,
spotkałem się z takim wzorem na wielomian charakterystyczny macierzy i nie bardzo wiem skąd się on bierze. Prosiłbym o wyjaśnienie tej kwestii.
Mamy macierz:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{ccc}\lambda_{1} &0&0&...&0\\0&\lambda_{2}&0&...&0\\0&0&\lambda_{3}&...&0\\...&...&...&...&...\\0&0&0&...&\lambda_{n} \end{array}\right]}\)
i jej wielomian charakterystyczny to:
\(\displaystyle{ p_{A}(\lambda)=a_{n}\cdot \lambda^{n} + a_{n-1}\cdot \lambda^{n-1} + ... + a_{0} }\)
Prośba o wyjaśnienie wzoru.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 25 gru 2020, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 3 razy
Prośba o wyjaśnienie wzoru.
Ostatnio zmieniony 2 lip 2022, o 13:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Administrator
- Posty: 34331
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 25 gru 2020, o 19:15
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 3 razy
Re: Prośba o wyjaśnienie wzoru.
Znalazłem go w uproszczonej wersji dowodu Tw. Cayleya-Hamiltona, w materiałach wykładowych.
-
- Administrator
- Posty: 34331
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Prośba o wyjaśnienie wzoru.
To jest jakiś skrót myślowy, bo wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) to
\(\displaystyle{ p_A=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda).}\)
Jak wymnożysz te nawiasy, to istotnie dostaniesz wielomian \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ \lambda}\), który można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ p_{A}(\lambda)=a_{n}\cdot \lambda^{n} + a_{n-1}\cdot \lambda^{n-1} + ... + a_{0}.}\)
JK
\(\displaystyle{ p_A=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\dots(\lambda_n-\lambda).}\)
Jak wymnożysz te nawiasy, to istotnie dostaniesz wielomian \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ \lambda}\), który można zapisać w postaci
\(\displaystyle{ p_{A}(\lambda)=a_{n}\cdot \lambda^{n} + a_{n-1}\cdot \lambda^{n-1} + ... + a_{0}.}\)
JK