Problem z zapisaniem rozwiązania

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
akzn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Problem z zapisaniem rozwiązania

Post autor: akzn »

Mam problem z zapisaniem zbiorów \(\displaystyle{ Ω}\) w postaci parametrycznej.
W zależności od parametrów \(\displaystyle{ a, b \in\RR}\) przeprowadź dyskusję i wyznacz rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&b\\
x-y&=&0\\
3x+y+az&=&0
\end{array} \right.}\)

Utworzyłem macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
1 & -1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & a & 0
\end{bmatrix} }\)

i za pomocą operacji na wierszach przekształciłem ją do postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)

Przykładowo dla parametrów \(\displaystyle{ a \ne 2, b \ne 0}\) rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A\mid B}\) jest taki sam (\(\displaystyle{ r(A) = r (A\mid B) = 3}\)) więc z twierdzenia Kroneckera-Capellego układ ma rozwiązania a \(\displaystyle{ \dim Ω = 3-3 = 0.}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & -b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)

Niestety nie jestem pewny, w jaki sposób zapisać \(\displaystyle{ Ω}\)?
Czy mam znaleźć, w jaki sposób zapisać \(\displaystyle{ x,y,z}\) za pomocą \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)?
\(\displaystyle{ z= \frac{-2b}{a-2} }\)
\(\displaystyle{ y= \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2} }\)
\(\displaystyle{ x=b- \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2}- \frac{-2b}{a-2} }\)
I czy ostateczna odpowiedź dla tego przypadku to \(\displaystyle{ Ω=\left( b- \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2}- \frac{-2b}{a-2},\frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2} ,\frac{-2b}{a-2}\right)}\) ?

We wszystkich napisanych macierzach ostatnia kolumna to kolumna dopełniająca (tzn. z tą kolumną mowię o macierzy \(\displaystyle{ A\mid B}\), bez tej kolumny ta macierz to \(\displaystyle{ A}\), niestety nie wiem jak to zapisać LatExie)
Ostatnio zmieniony 27 sty 2023, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Poprawa wiadomości.
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Problem z zapisaniem rozwiązania

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

akzn pisze: 27 sty 2023, o 19:19 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)

Przykładowo dla parametrów a ≠ 2, b ≠ 0 rząd macierzy A oraz A|B jest taki sam (rA = r A|B = 3)
Jeśli \(a\ne2\), to po co jeszcze sprawdzasz \(b\)?
akzn pisze: 27 sty 2023, o 19:19 I czy ostateczna odpowiedź dla tego przypadku to Ω=\(\displaystyle{ (b- \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2}- \frac{-2b}{a-2},\frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2} ,\frac{-2b}{a-2})}\) ?
Na to wygląda, chociaż pewnie da się to zapisać trochę prościej.
akzn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 5 razy

Re: Problem z zapisaniem rozwiązania

Post autor: akzn »

3a174ad9764fefcb pisze: 27 sty 2023, o 19:50
akzn pisze: 27 sty 2023, o 19:19 \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)

Przykładowo dla parametrów a ≠ 2, b ≠ 0 rząd macierzy A oraz A|B jest taki sam (rA = r A|B = 2)
Jeśli \(a\ne2\), to po co jeszcze sprawdzasz \(b\)?
Ponieważ jeżeli b nie jest równe 0 to \(\displaystyle{ r(A)\ne r(A\mid B).}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Problem z zapisaniem rozwiązania

Post autor: a4karo »

Musi się dać zapisać prościej, bo przecież `x=y`
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Problem z zapisaniem rozwiązania

Post autor: Jan Kraszewski »

akzn pisze: 27 sty 2023, o 22:02Ponieważ jeżeli b nie jest równe 0 to \(\displaystyle{ r(A)\ne r(A\mid B).}\)
Ale to nie ma związku z pytaniem. Warunek \(\displaystyle{ r(A)\ne r(A\mid B)}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ a=2, b\ne 0}\), ale tego przypadku nie rozważałeś.

JK
ODPOWIEDZ