Mam problem z zapisaniem zbiorów \(\displaystyle{ Ω}\) w postaci parametrycznej.
W zależności od parametrów \(\displaystyle{ a, b \in\RR}\) przeprowadź dyskusję i wyznacz rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&b\\
x-y&=&0\\
3x+y+az&=&0
\end{array} \right.}\)
Utworzyłem macierz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
1 & -1 & 0 & 0 \\
3 & 1 & a & 0
\end{bmatrix} }\)
i za pomocą operacji na wierszach przekształciłem ją do postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)
Przykładowo dla parametrów \(\displaystyle{ a \ne 2, b \ne 0}\) rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A\mid B}\) jest taki sam (\(\displaystyle{ r(A) = r (A\mid B) = 3}\)) więc z twierdzenia Kroneckera-Capellego układ ma rozwiązania a \(\displaystyle{ \dim Ω = 3-3 = 0.}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & b \\
0 & -2 & -1 & -b \\
0 & 0 & a-2 & -2b
\end{bmatrix} }\)
Niestety nie jestem pewny, w jaki sposób zapisać \(\displaystyle{ Ω}\)?
Czy mam znaleźć, w jaki sposób zapisać \(\displaystyle{ x,y,z}\) za pomocą \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)?
\(\displaystyle{ z= \frac{-2b}{a-2} }\)
\(\displaystyle{ y= \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2} }\)
\(\displaystyle{ x=b- \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2}- \frac{-2b}{a-2} }\)
I czy ostateczna odpowiedź dla tego przypadku to \(\displaystyle{ Ω=\left( b- \frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2}- \frac{-2b}{a-2},\frac{b+ \frac{2b}{a-2} }{2} ,\frac{-2b}{a-2}\right)}\) ?
We wszystkich napisanych macierzach ostatnia kolumna to kolumna dopełniająca (tzn. z tą kolumną mowię o macierzy \(\displaystyle{ A\mid B}\), bez tej kolumny ta macierz to \(\displaystyle{ A}\), niestety nie wiem jak to zapisać LatExie)
Problem z zapisaniem rozwiązania
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Problem z zapisaniem rozwiązania
Ostatnio zmieniony 27 sty 2023, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Poprawa wiadomości.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Problem z zapisaniem rozwiązania
Jeśli \(a\ne2\), to po co jeszcze sprawdzasz \(b\)?
Na to wygląda, chociaż pewnie da się to zapisać trochę prościej.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 15 sty 2023, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 5 razy
Re: Problem z zapisaniem rozwiązania
Ponieważ jeżeli b nie jest równe 0 to \(\displaystyle{ r(A)\ne r(A\mid B).}\)
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Problem z zapisaniem rozwiązania
Ale to nie ma związku z pytaniem. Warunek \(\displaystyle{ r(A)\ne r(A\mid B)}\) zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ a=2, b\ne 0}\), ale tego przypadku nie rozważałeś.
JK