Matematyka.pl

Rozwazmy powierzchnie \(\displaystyle{ z^2=2xy}\).
Jest ona symetryczna wzgledem plaszczyzn \(\displaystyle{ z=0}\) i \(\displaystyle{ y=x}\). Jej przekroje plaszczyznami \(\displaystyle{ y=-x+k}\) (prostopadlymi do osi stozka) sa elipsami.
Postac kanoniczna (jesli sie gdzies nie pomylilam) to \(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2}\). A to jest "porzadny" stozek, przekrojami ktorego sa okregi.

Prosilabym o wskazanie bledu.

To jest ok, bo zamiana na postać kanoniczną postaci \(\displaystyle{ x=\frac{x'+y'}{\sqrt2}, y=\frac{x'-y'}{\sqrt2}}\) daje \(\displaystyle{ z^2=(x')^2-(y')^2}\), co pokazuje, że oś tego stożka to nie oś `z` lecz oś \(\displaystyle{ x'}\), więc w płaszczyźnie \(\displaystyle{ zy'}\) okręgi przejdą na elipsy (współczynnik `1/\sqrt2` skraca tylko wzdłuż jednej osi).

Dziekuje. Bardzo przepraszam, ale nie dociera. Stozek jest, jaki jest. Zapisanie go w postaci kanonicznej to tylko wybor innej bazy (ukladu wspolrzednych). Jesli w "poczatkowym" ukladzie, gdzie stozek ma rownanie \(\displaystyle{ z^2=2xy}\), prosta \(\displaystyle{ y=x }\) jest osia stozka (prosze mnie poprawic, jesli sie myle), i jesli przekroje plaszczyznami, prostopadlymi do niej daja elipsy, to znaczy, ze jest to stozek "eliptyczny".

W innej bazie (kanonicznej) okazuje sie, ze jest on stozkiem "kolowym" - przekroje plaszczyznami prostopadlymi do osi dadza okregi.

Wiec jaki jest ten stozek, "kolowy" czy "eliptyczny"? Prosze wybaczyc tepote.

Jak sobie narysujesz na kartce papieru okrąg a następnie spojrzysz na niego pod kątem, to co zobaczysz?

Równanie `x^2+4y^2=1` opisuje elipsę. Gdy wprowadzisz zmienne `x'=x, y'=2y`, to ta elipsa zamienia się w okrąg `(x')^2+(y')^2=1`. Dowcip polega na tym, że taka zamiana zmiennych powoduje inne liczenie odległości.
Przez liniową zamianę zmiennych możemy zmienić proporcje obiekty, ale nie zmienimy jego typu - hiperbola nie przejdzie na elipsę ani na parabolę. Ale elipsa w okrąg i vice versa jak najbardziej

Dzieki serdeczne, dotarlo. Moj blad polegal na stwierdzeniu "stozek jest, jaki jest".

Problem ten wyniknal w zadanku, polegajacym na znalezieniu objetosci bryly, ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ z^2=2xy}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=9}\). Poniewaz wychodzily mi koszmarne calki, postanowilam obrocic stozek tak, by jego osia byla os \(\displaystyle{ 0x}\). (Macierz obrotu, \(\displaystyle{ \alpha =-45^{\circ})}\). A potem zaczelam sie zastanawiac nad zmiana bazy.

Jeszcze raz bardzo dziekuje.