podprzestrzeń liniowa
-
- Użytkownik
- Posty: 17
- Rejestracja: 18 lis 2014, o 09:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 3 razy
podprzestrzeń liniowa
Udowodnić że przestrzeń \(\displaystyle{ I_{ \infty }}\) wszystkich ograniczonych ciągów nieskończonych o wyrazach z ciała \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni \(\displaystyle{ M(N,K)}\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2014, o 17:33 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości.
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
podprzestrzeń liniowa
Na wikipedii czytam:
Podzbiór \(\displaystyle{ U}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \(\displaystyle{ \mathbf u, \mathbf v \in U}\) i \(\displaystyle{ a \in K}\) spełnione są warunki:
\(\displaystyle{ a\mathbf u \in U}\),
\(\displaystyle{ \mathbf u + \mathbf v \in U}\)
sprawdźmy drugi warunek:
weźmy ciągi ograniczone \(\displaystyle{ (a_n), (b_n)}\) i ich ograniczenia \(\displaystyle{ M_1, M_2}\) (\(\displaystyle{ K}\) przyjmijmy jakieś ciało z normą)
\(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) = (a_n +b_n)}\)
\(\displaystyle{ |a_n +b_n| \leq |a_n| + |b_n| \leq M_1 + M_2}\) (dla każdego \(\displaystyle{ n}\))
Zatem \(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) \in I_{ \infty }}\)
Podzbiór \(\displaystyle{ U}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich \(\displaystyle{ \mathbf u, \mathbf v \in U}\) i \(\displaystyle{ a \in K}\) spełnione są warunki:
\(\displaystyle{ a\mathbf u \in U}\),
\(\displaystyle{ \mathbf u + \mathbf v \in U}\)
sprawdźmy drugi warunek:
weźmy ciągi ograniczone \(\displaystyle{ (a_n), (b_n)}\) i ich ograniczenia \(\displaystyle{ M_1, M_2}\) (\(\displaystyle{ K}\) przyjmijmy jakieś ciało z normą)
\(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) = (a_n +b_n)}\)
\(\displaystyle{ |a_n +b_n| \leq |a_n| + |b_n| \leq M_1 + M_2}\) (dla każdego \(\displaystyle{ n}\))
Zatem \(\displaystyle{ (a_n) + (b_n) \in I_{ \infty }}\)