Matematyka.pl

Podaj macierz przejścia P z B1 do B2

\(\displaystyle{ B_{1} = \{1, x+1, x^{2}, x^{3}-1 \} \\
B_2 = \{1, x+2, x^{2}+x+1, x^{3} \}}\)

I tu pojawia się pierwsza wątpliwość - czy współrzędne wektorów z B2 mam zapisać w wierszach czy kolumnach ?

Zapisałem w wierszach i wyszło mi tak :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\2&1&0&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\)

Teraz zgodnie ze wzorem

\(\displaystyle{ X=P*X'}\)

Mnożę

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\2&1&0&0\\1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}* \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix}}\)

i wychodzi mi układ równań

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=1\\2x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\x_{4}=0 \end{array}\right.}\)

Po kolei wyznaczam \(\displaystyle{ x_{1}, x_{1}'}\) i wpisuje je w macierz jako kolumny ? Tzn

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}&\ldots&x_{1}^{(4)}\\\vdots&\ddots&\vdots\\x_{4}&\ldots&x_{4}^{(4)}\end{bmatrix}}\)

Czy dobrze myślę ?

Niezupełnie. Kolumnami macierzy przejścia z bazy \(\displaystyle{ A}\) (starej) do \(\displaystyle{ C}\) (nowej) są współrzędne wektorów bazy \(\displaystyle{ C}\) w bazie \(\displaystyle{ A}\).

Te akurat dane są takie, że rozpatrywanie tego za pomocą macierzy to przerost formy nad treścią. Wystarczy skorzystać z tego, co napisałam wyżej - czyli znaleźć współrzędne wszystkich wektorów z \(\displaystyle{ B_2}\) w bazie \(\displaystyle{ B_1}\).

Pozdrawiam.