Matematyka.pl

Na płaszczyźnie zespolonej dane są trójkąty o wierzchołkach z1, z2, z3 oraz w1, w2, w3. Pokazać, że trójkąty te są podobne ( z zachowaniem indeksów wierzchołków) wtedy i tylko wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ det \begin{bmatrix} z_1&z_2&z_3\\w_1&w_2&w_3\\1&1&1\end{bmatrix} = 0}\)

jak w ogóle to zacząć?

To akurat proste zadanko.

Trojkaty \(\displaystyle{ z_i}\) i \(\displaystyle{ w_i}\) sa podobne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja liczby zespolone \(\displaystyle{ s,t}\) takie, ze:

\(\displaystyle{ z_i=sw_i+t}\),

lub

\(\displaystyle{ z_0=s\overline w_i+t}\)

bo podobienstwa plaszczyzny sa zlozeniami sprzezenia/identycznosci z obrotem jednokladnoscia i przesunieciem.

Zatem w pierwszym przypadku mnozac drugi wiersz macierzy przez s i odejmujac go od pierwszego wiersza otrzymyjemy wiersz \(\displaystyle{ (t,t,t)}\) ktory jest zalezny z trzecim wierszem.

Pozostaje sprawdzic, ze macierz

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}w_1&w_2&w_3\\\overline{w_1}&\overline{w_2}&\overline{w_3}\\1&1&1\end{pmatrix}}\)

jest osobliwa, co robimy np. liczac jej wyznacznik i sprawdzajac, ze sie wszystko skraca.