Matematyka.pl

Mamy następujące wektory:
\(\displaystyle{

e_{1}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}\right],
\qquad
e_{2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\\
\frac{\sqrt{3}}{2}\\
0
\end{array}\right],
\qquad
e_{3}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{c}
-\frac{1}{2} \\
- \frac{\sqrt{3}}{2} \\
0
\end{array}\right].

}\)
Weźmy \(\displaystyle{ f=\left[\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}
\end{array}\right]}\) wówczas mamy policzone, że operator analizy działa następująco na podane wektory:
\(\displaystyle{

\theta_{e}(f)=\left[\begin{array}{c}
(f,e_{1})\\
(f,e_{2})\\
(f,e_{3})
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
x_{1}\\
-\frac{1}{2}x_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2}\\
-\frac{1}{2}x_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2}
\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}
2x_{1}\\
- x_{1}+ \sqrt{3}x_{2}\\
-x_{1}-\sqrt{3}x_{2}
\end{array}\right].

}\)
Jednak nie mogę zrozumieć dlaczego w obliczeniach nie uwzględniliśmy czynnika, który występuje przed każdym z wektorów, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}}}\) dlaczego mogliśmy go pominąć ?

Jak mamy określony iloczyn skalarny ? Czy nie występuje w nim czynnik normujący \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{3}{2}}? }\)

Iloczyn skalarny określony jest standardowo, bez czynnika normującego.

W takim razie brakuje czynnika \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{2}{3}}. }\)
\(\displaystyle{
\theta_{e}(f)=\left[\begin{array}{c}
(f,e_{1})\\
(f,e_{2})\\
(f,e_{3})
\end{array}\right]= \sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{c}
x_{1}\\
-\frac{1}{2}x_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2}\\
-\frac{1}{2}x_{1}-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2}
\end{array}\right]= \sqrt{\frac{1}{6}}\left[\begin{array}{c}
2x_{1}\\
- x_{1}+ \sqrt{3}x_{2}\\
-x_{1}-\sqrt{3}x_{2}
\end{array}\right].
}\)

Z jakiego źródła pochodzi to rozwiązanie?

janusz47 pisze: ↑25 cze 2023, o 16:59
Z jakiego źródła pochodzi to rozwiązanie?

Dokładnego źródła nie znam, kilka rozwiązań udostępnił nam prowadzący, dlatego zastanawiałam się czy jest błąd czy po prostu ja źle myślę

Jeszcze zapytam o jedną rzecz, jak chcemy zapisać zbiór obrazów operatora analizy to będzie on następujący?
\(\displaystyle{ \mathcal{B}(\theta_{e})=\left\{\left[\begin{array}{c}
2x_{1}\\
- x_{1}+ \sqrt{3}x_{2}\\
-x_{1}-\sqrt{3}x_{2}
\end{array}\right], x_{1},x_{2} \in \mathbb{C}\right \},
}\)

Tutaj już możemy opuścić skalar czy również jest błędnie zapisane?

Tak, to jest obraz operatora.

Prawdopodobnie wystąpił błąd.

A dlaczego w obrazie operatora, pomijamy ten czynnik skalarny, czyli w naszym przypadku \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{6}} }\) ? Z czego to wynika ?

Poprawna odpowiedź zakładając, że wynik podany przez prowadzcego jest błędny, powinna uwzgledniać ten czynnik,

Obraz jest przestrzenią liniową. Jeżeli każdy element przestrzeni pomnożysz przez skalar to dostaniesz te sama przestrzeń.