Matematyka.pl

Bardzo proszę o pomoc. Co to znaczy, że baza jest standardowa i uporządkowana?

2.2 Niech \(\displaystyle{ (e_{1}; e_{2}; e_{3})}\) będzie uporządkowaną bazą standardową \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) oraz \(\displaystyle{ T:\RR^{3} \rightarrow \RR^{3}}\)
takim odwzorowaniem liniowym, że
\(\displaystyle{ T(e_{1})=\begin{bmatrix} -1\\2\\1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ T(e_{2})=\begin{bmatrix} 0\\5\\0\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ T(e_{3})=\begin{bmatrix} -1\\-1\\2\end{bmatrix}}\).
Wyznacz \(\displaystyle{ T(\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\) i jądro tego odwzorowania, gdzie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix} \in \RR^{3}}\). Czy istnieje funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ T}\)?

Baza uporządkowana różni się od zwyczajnej bazy tym samym, co para uporządkowana \(\displaystyle{ (a, b)}\) od zwyczajnej pary, czyli zbioru dwuelementowego \(\displaystyle{ \{ a, b \}}\): pierwszy obiekt rozróżnia kolejność swoich współrzędnych, a drugi nie. Zatem \(\displaystyle{ (a, b) \neq (b, a)}\) (jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\)), ale zawsze \(\displaystyle{ \{ a, b \} = \{ b, a \}}\).

Aby zdefiniować pewne pojęcia algebry liniowej, na przykład macierz przejścia z jednej bazy do drugiej, oprócz ustalonej bazy (czyli maksymalnego zbioru liniowo niezależnego) potrzebna jest jeszcze ustalona kolejność wektorów w tej bazie, stąd potrzeba rozpatrywania baz uporządkowanych.

Natomiast baza standardowa \(\displaystyle{ \RR^3}\) to konkretna baza (uporządkowana) złożona z wektorów

\(\displaystyle{ e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}\).

Aaa Ok to ma sens. Czyli teraz po prostu \(\displaystyle{ x_{1}}\) dostaje w każdym wierszu odpowiedni współczynnik od \(\displaystyle{ T(e_{1})}\) itd.? I potem liczę Funkcje odwrotna, która przywróci iksy do stanu początkowego?

Jeśli masz na myśli że

\(\displaystyle{ T \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x_1 T(e_1) + x_2 T(e_2) + x_3 T(e_3)}\),

to tak jest w istocie, co wynika z liniowości \(\displaystyle{ T}\).