Matematyka.pl

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f: \RR[x]_3 \rightarrow \RR[x]_3}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ (f(w))(x)=(x-2)w'(x)-w(x).}\)


a). Wykazac, że \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem liniowym.
b). Wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ A}\) endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B_{1}=(1,x,x^2,x^3)}\)

c). Znalezc jądro i obraz odwzorowania \(\displaystyle{ f}\), ich wymiary i bazy. Czy \(\displaystyle{ f}\) jest monomorfirmem lub epimorfizmem? odp uzasadnij

d). Niech \(\displaystyle{ B_{2}=(-2,x+1,3x^2-x,(x+1)^3)}\). Uzasadnic, że \(\displaystyle{ B_{2}}\) jest bazą w \(\displaystyle{ R[x]_{3}}\)

e). Korzystając z odpowiednich macierzy przejscia wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ A'}\) endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B_{2}}\)

A wiesz co masz pokazać?

w a) mam wykazac mniej wiecej to, że
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ af(x)=f(ax)}\)

ale zupełnie nie wiem jak to zapisac w tym przykładzie

Zauważ, że owe \(\displaystyle{ x, y}\) są wielomianami. Tak samo wielomianem jest \(\displaystyle{ f(x)}\). Jeżeli ich argumentem jest \(\displaystyle{ t}\), to \(\displaystyle{ f(x) (t) =(t-2) x'(t) - x(t)}\)
Czym jest \(\displaystyle{ f(x+y) (t)}\)?

a4karo pisze: Czym jest \(\displaystyle{ f(x+y) (t)}\)?

Nie wiem, nie moge nigdzie znalezc:( pomozesz?

A gdzie chcesz szukać? Masz podany wzór na \(\displaystyle{ f}\). Wykorzystaj go.

a4karo pisze:Zauważ, że owe \(\displaystyle{ x, y}\) są wielomianami. Tak samo wielomianem jest \(\displaystyle{ f(x)}\). Jeżeli ich argumentem jest \(\displaystyle{ t}\), to \(\displaystyle{ f(x) (t) =(t-2) x'(t) - x(t)}\)
Czym jest \(\displaystyle{ f(x+y) (t)}\)?

czyli:
\(\displaystyle{ f(x+y) (t) =(t-2) (x+y)'(t) - (x+y)(t)}\)
tak?

TAk. Teraz wykorzystaj znane własności pochodnej, przekształć to trochę i pokaż, że równa się to temu, co trzeba

za bardzo nie wiem jak mam to rozłozyc \(\displaystyle{ (t-2) (x+y)'(t)}\)

Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych.

JK

Wsk \(\displaystyle{ )(a+b) '=a' +b'}\)

ok, już podpunkt a zrobiłam, a pomoże ktoś z podpunktem b?

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f: \RR[x]_3 \rightarrow \RR[x]_3}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ (f(w))(x)=(x-2)w'(x)-w(x).}\)

b). Wyznaczyc macierz \(\displaystyle{ A}\) endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B_{1}=(1,x,x^2,x^3)}\)

No na co one przechodzą

Nie rozumiem

Żeby otrzymać macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B_1}\) musisz policzyć wartości wektorów bazowych, przedstawić je w bazie i zapisać jako kolumny macierzy. Dla przykładu:

\(\displaystyle{ f(1)(x)=(x-2)\cdot 0-1=-1=-1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2+0\cdot x^3}\)

więc pierwsza kolumna Twojej macierzy to

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\end{pmatrix}.}\)

JK