Matematyka.pl

dane sa odwzorowania okreslone wzorem

\(\displaystyle{ 1) \ f(x,y)=(x+2y,xy) \\2) \ f(x,y)=(x+2y,x)}\)

Sprawdz czy f jest iniekcją oraz surjekcja jesli tak wyznacz \(\displaystyle{ f^{-1}}\)

Dla pierwszego przykladu wezmy
\(\displaystyle{ (1,0), (0,\frac{1}{2})}\)

kuch2r pisze:Dla pierwszego przykladu wezmy
\(\displaystyle{ (1,0), (0,\frac{1}{2})}\)

wtedy pierwsza funkcja nie jest różnowartościowa a co z druga funkcja

W drugim przykładzie \(\displaystyle{ f}\) jest liniowa, a wektory \(\displaystyle{ f(e_1)=y_1}\) i \(\displaystyle{ f(e_2)=y_2}\) są bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) (co łatwo sprawdzić). Stąd wniosek, że jest to przekształcenie różnowartościowe i "na". Natomiast przekształcenie odwrotne będzie również przekształceniem liniowym, a ponadto \(\displaystyle{ f^{-1}(y_1)=e_1}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}(y_2)=e_2}\). To już powinno być łatwo znaleźć (wychodzi jak się zdaje \(\displaystyle{ f^{-1}(x,y)=\left( y, \frac{x-y}{2} \right)}\)).

Pozdrawiam.
Qń.

Qń pisze: \(\displaystyle{ f^{-1}(y_1)=e_1}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}(y_2)=e_2}\). [/latex]).

mozesz mi to rozpisac

luqasz pisze:mozesz mi to rozpisac

Dziękuję za pozwolenie :] .

A zadanie da się zrobić nawet prościej: skoro w drugim przypadku nasze przekształcenie jest liniowe, to istnieje macierz \(\displaystyle{ A}\) tego przekształcenia (o kolumnach \(\displaystyle{ f(e_1)}\) i \(\displaystyle{ f(e_2)}\)) - macierzą przekształcenia odwrotnego jest naturalnie \(\displaystyle{ A^{-1}}\), a z niej łatwo wyznaczyć postać \(\displaystyle{ f^{-1}}\).

Pozdrawiam.
Qń.