Matematyka.pl

Witam.

Mam problem z takim zadaniem. Czy istnieje możliwość rozwiązania go nie korzystając z jakichś wzorów wykutych na pamięć, tylko z rozumowania krok po kroku?

Znaleźć macierz przekształcenia w bazach standardowych: przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ R^{3}\to R^{3}}\) jest obrotem o kąt \(\displaystyle{ \frac{\Pi}{6}}\) wokół osi \(\displaystyle{ Oy}\).

Dziękuję za pomoc.

Współrzędne walcowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=r\cos\varphi\\y=y\\z=r\sin\varphi\end{cases}\,\Rightarrow \begin{cases}x'=r\cos\left(\varphi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}r\cos\varphi-\frac{1}{2}r\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}z\\y'=y\\z'=r\sin\left(\varphi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}r\cos\varphi+\frac{\sqrt{3}}{2}r\sin\varphi=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z\end{cases}\\\\
M=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2}&0&-\frac{1}{2}\\0&1&0\\\frac{1}{2}&0&\frac{\sqrt{3}}{2}\end{bmatrix}}\)

Dzięki wielkie.

Istnieje jeszcze jakis sposob? Oczywiscie zdaje sobie sprawe, ze jest ich mnostwo, ale mowie o takim, ktory czesto jest uzywany.

Mam jeszcze jedno pytanie, a nie chce zakladac kolejnego watku:

Znalezc wektory i wartosci wlasne przeksztalcenia liniowego \(\displaystyle{ R^{3} \to R^{3}}\), które jest rzutem prostokątnym na prostą daną wzorem.

Nie podaję wzoru, bo nie ma to sensu (tak mysle). Wektory i wartosci wlasne podobno nalezy ustalic geometrycznie i podobno wartości wlasne to 1 i 0. Tylko dlaczego i dla jakich wektorów wlasnych? Rozumiem, że dla punkty leżące na tej prostej są wektorami własnymi w parze z wartością własną 1, a jakie wektory są wektorami wlasnymi dla 0?-- 22 cze 2013, o 12:34 --Wartoscia wlasna nie jest czasem 0 dla punktow lezacych na plaszczyznie przechodzacej przez punkt (0,0,0), ktorej wektorem normalnym jest prosta na ktora rzutujemy?

Tak, dla prostej przechodzącej przez \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)