Matematyka.pl

Hej wszystkim, ostatnio zaczęliśmy funkcjonały i przestrzenie sprzężone, ale natrafiłem na coś co ciężko mi zrozumieć, tutaj jest treść zadania:
\(\displaystyle{ \phi: \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}}\)
\(\displaystyle{ \phi((x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})) = (x_{1} + 2x_{2} +x_{3} + x_{4}, x_{1} + x_{2} - x_{3} + 2x_{4}, 2x_{1} + x_{2} -4x_{3}+5x_{4})}\)
Znajdź bazę jądra i obrazu \(\displaystyle{ \phi^{*} : ( \mathbb{R}^{3})^{*} \to ( \mathbb{R}^{4} )^{*} }\)
Problem jest w tym, że wyznaczyłem macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi}\) następnie poprzez transponowanie jej otrzymałem macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \phi^{*}}\) i tutaj pojawia się problem, bo nie za bardzo rozumiem jak mam to interpretować, czy mam traktować \(\displaystyle{ \phi^{*}}\) jako normalne przekształcenie liniowe i wyznaczyć bazę jądra i obrazu standardowo, czy jest w tym coś innego, zakładam że mogę to traktować jako normalne przekształcenie, ponieważ wymiar obrazu jest równy 2, ale nie jestem pewny. Z góry dziękuję za pomoc!