Matematyka.pl

Nie jestem pewny czy dobrze wykonałem podane zadania.
Dane są macierze \(\displaystyle{ A = \left[a_{1}, a_{2}, a_{3}\right] = \begin{bmatrix} 1&2&3\\1&-1&6\\1&5&0\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ b= \begin{bmatrix} 12\\-3\\3\end{bmatrix}}\).

1) Wyznacz najlepsze rozwiązanie \(\displaystyle{ x_{0}}\)

Po wyliczeniu ze wzoru \(\displaystyle{ A^{T}\left[A|b\right]}\) wyszło:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&5&2\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Czyli mogę to zapisać w taki sposób?

\(\displaystyle{ x_{0} = \begin{bmatrix} 2\\1\\0\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 5\\-1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+5t\\1-t\\0\end{bmatrix}}\)

2) Obliczyć wektor \(\displaystyle{ Ax_{0}}\)

W takim razie jeżeli moje wyniki są poprawne to wychodzi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&3\\1&-1&6\\1&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2+5t\\1-t\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+3t\\1+6t\\7\end{bmatrix}}\)

3) Oblicz iloczyn skalarny wektorów \(\displaystyle{ b-Ax_{0}}\) i \(\displaystyle{ 20a_{1}+17a_{2}}\)

Oba wektory są już policzone i wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 8-3t\\-4-6t\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 54\\3\\105\end{bmatrix} = 54(8-3t)+3(-4-6t)+105 \cdot (-4) = -180t}\)

4) Obliczyć kosinus kąta pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ Ax_{0}}\).

I tutaj totalnie nie jestem pewny tego podpunktu.

\(\displaystyle{ \cos \varphi= \frac{(x|y)}{||x||||y||}}\)

\(\displaystyle{ (x|y) = 12(4+3t)-3(1+6t)+3 \cdot 7 = 66 +18t}\)

\(\displaystyle{ ||x|| = \sqrt{144+9+9} = \sqrt{162}}\)

\(\displaystyle{ ||y|| = \sqrt{(4+3t)^{2}+(1+6t)^{2}+7 \cdot 7} = \sqrt{45t^{2}+36t+56}}\)

Podstawić do wzoru i już zostawić ten \(\displaystyle{ \cos \varphi}\) w takiej postaci?

Pozdrawiam