Matematyka.pl

Metoda Punktu Stałego

Metoda Punktu Stałego jest jedną z metod iteracyjnych rozwiązywania równań postaci:
\(\displaystyle{ g(x) = x. }\)

Rozwiązanie tego równania \(\displaystyle{ \alpha }\) nazywamy punktem stałym funkcji \(\displaystyle{ g. }\)

Startujemy od punktu początkowego \(\displaystyle{ p_{0}. }\)

Generujemy ciąg punktów \(\displaystyle{ (x_{n}) }\) takich, że

\(\displaystyle{ p_{n+1} = g(p_{n}), \ \ n=0, 1, 2,... }\)

Jeśli proces iteracyjny jest zbieżny do pierwiastka \(\displaystyle{ \alpha }\) i funkcja \(\displaystyle{ g
}\) jest ciągła, to

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} p_{n} = \alpha. }\)

Następujące twierdzenie podaje warunki konieczne i wystarczające istnienia punktu stałego i zbieżności metody:

Twierdzenie

Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą w przedziale \(\displaystyle{ [a, b] }\) i \(\displaystyle{ a\leq g(x) \leq b

}\) dla w każdego \(\displaystyle{ x \in [a, b]. }\)

Ponadto zakładamy, że jeśli \(\displaystyle{ g'(x) }\) jest funkcją ciagłą na \(\displaystyle{ (a, b) }\) i istnieje taka dodatnia

stała \(\displaystyle{ c }\) , że \(\displaystyle{ |g'(x)|\leq c < 1 }\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in (a, b),}\)

to wtedy istnieje dokładnie jeden punkt stały \(\displaystyle{ \alpha }\) funkcji \(\displaystyle{ g }\)

i proces iteracyjny \(\displaystyle{ x_{n+1} = g(x_{n}), \ \ n\geq 0 }\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ \alpha }\) dla punktu początkowego \(\displaystyle{ x_{0} \in [a, b]. }\)

Dowód

Definiujemy fnkcję \(\displaystyle{ f(x) = x - g(x).}\) Stąd funkcja \(\displaystyle{ f }\) jest ciągła na \(\displaystyle{ [a,b] }\) i \(\displaystyle{ f(a)\leq 0, \ \ f(b)\geq 0.
}\)

Z twierdzenia o istnieniu punktu pośredniego, istnieje \(\displaystyle{ \alpha \in [a,b] }\) dla którego \(\displaystyle{ f(x) =0.}\)

Punkt \(\displaystyle{ \alpha }\) jest punktem stałym funkcji \(\displaystyle{ g.}\)

Z twierdzenia o wartości średniej (Lagrange'a) wynika, że istnieją dwa punkty \(\displaystyle{ r, s \in [a,b] }\) i istnieje takie \(\displaystyle{ \xi }\), że

\(\displaystyle{ |r - s| = |g(r) - g(s)|= |g'(\xi)|\cdot |r-s| \leq c\cdot |r-s| }\)

Stąd

\(\displaystyle{ |r-s|\leq c\cdot |r-s| }\) lub \(\displaystyle{ (1-c)\cdot |r-s| \leq 0 }\)

Z założenia \(\displaystyle{ c <1 }\) więc musi zachodzić równość \(\displaystyle{ r = s, }\) i funkcja \(\displaystyle{ g }\) ma dokładnie jeden punkt stały.

Dla wykazania zbieżności metody korzystamy ponownie z twierdzenia Lagrange'a:

\(\displaystyle{ |\alpha -x_{n+1}|=|g(\alpha) - g(x_{n})|=|g'(\xi_{n})|\cdot |\alpha -x_{n}|\leq c|\alpha -x_{n}|, }\)

gdzie: \(\displaystyle{ \xi_{n} \in (\alpha, x_{n}). }\)

Stosując indukcję względem \(\displaystyle{ n, }\) otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ |\alpha -x_{n}| \leq c^{n}\cdot |\alpha -x{0}| , \ \ n\geq 0.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty, \ \ c^{n}\rightarrow 0, }\)

stąd

\(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow \alpha. }\)

Program w OCTAVE
Funkcja Wyniki: