Matematyka.pl

Mam pytanie, czy da się rozwiązać metodą eliminacji Gaussa układ równań składający się z 4 równań i 4 niewiadomych? Zwykle miałam podane tylko 3 równania z 3 niewiadomymi i nieco się w tym momencie gubię.

\(\displaystyle{ \begin{cases}7x+3y+2z+6t=3 \\
3x+7y+2z+2t=9\\
x+4y+z+8t=6\\
5x+10y+3z-4t=12 \end{cases}}\)

Jakie kroki powinnam wykonać?

Robi się to dokładnie w taki sam sposób, jak dla mniejszego układu, tylko masz więcej liczenia - zapisujesz macierz i doprowadzasz do postaci schodkowej (lub półnormalnej albo wręcz do normalnej - zależy, którą wersję algorytmu i pod jaką nazwą znasz) zaczynając od pierwszej kolumny po lewej stronie.

Pozdrawiam.

Czy dobrze rozumiem, że mam doprowadzić do tego aby w ostatnim wierszu były same zera? Tylko co dalej?

Nie bardzo rozumiem, co masz na myśli - w ogólnym przypadku w ostatnim wierszu nie muszą wcale się pojawić samego zera. Jeśli w tym przypadku tak wychodzi, to ostatni wiersz wykreślasz (bo on odpowiada równaniu 0=0, które jest zawsze prawdziwe, więc jest niepotrzebne) i liczysz dalej.

Napisz może, co to wg Ciebie jest i jak działa (w skrócie) metoda eliminacji Gaussa, bo wygląda na to, że popełniasz jakiś tajemniczy błąd w ogólnym rozumowaniu, więc obawiam się, że inaczej się nie dogadamy...

Pozdrawiam.

Chyba teraz już rozumiem - nie ważne jest czy mam macierz 3x3 czy 4x4 - liczę tak samo. Muszę doprowadzić do sytuacji w której będę miała po lewej stronie "kreski" macierz, w której po przekątnej będą 1, a reszta to będą zera. Po prawej stronie za tą kreską powstaną 4 wyniki x1, x2, x3 i x4. Tak bynajmniej liczyliśmy na zajęciach Swoją drogą 3 lata temu, więc dlatego niewiele pamiętam.

Mniej więcej tak to wygląda. Jednak pamiętaj, że to co piszesz, to bardzo szczególny przypadek, który ma miejsce tylko wtedy, gdy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. W innym przypadku na pewnym etapie procesu powstaje albo wiersz zerowy, który się wykreśla - a wtedy nie można już mówić o przekątnej, bo macierz po lewej stronie "kreski" staje się niekwadratowa - albo wiersz, w którym po lewej stronie "kreski" są zera, a po prawej coś niezerowego - wtedy układ jest sprzeczny.

Pozdrawiam.

Rozumiem. Dziękuję za pomoc!

Chciałbym wrócić do tematu:

7x+3y+2z+6t=3
3x+7y+2z+2t=9
x+4y+z+8t=6
5x+10y+3z-4t=12

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}7&3&2&6&|3\\3&7&2&2&|9\\1&4&1&8&|6\\5&10&3&4&|12\end{bmatrix}\\}\)

Działania: zamiana \(\displaystyle{ W_3}\) z \(\displaystyle{ W_1}\)
\(\displaystyle{ -3W_1 + W_2, -7W_1 + W_3 , -5W_1 + W_4 , -5W_2 + W_3 , -2W_2 + W_4 , -W_3 + W_4}\)

mamy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&4&1&8&|6\\0&-5&-1&-22&|-9\\0&0&1&60&|6\\0&0&0&-52&|-24\end{bmatrix}\\}\)

zakładając, że obliczenia nie zawierają błędów rachunkowych, jak odczytać rozwiązania układu równań z takiej macierzy ?

edit: sorry w ostatnim wierszu miało być -52.

\(\displaystyle{ 0=-24}\)
Sprzecznosc. Uklad nie ma rozwiazan.

czy

\(\displaystyle{ t = \frac{-24}{-52} = \frac{6}{13}}\)

? itd ?

O ile Twoje obliczenia są poprawne, to tak właśnie ma być.

Pozdrawiam.

Dopiero jak miodzio napisał o tej sprzeczności to zauważyłem, że ostatni element przekątnej jest wyliczoną czwartą naszą niewiadomą. Czyli jedynie teraz przez podstawienia albo bawić się Cramerem można by to policzyć , tak ? nie ma jakiejś innej metody bądź twierdzenia co do postaci macierzy dolnotrójkątnej współczynników ?

Pytam o to, bo widziałem na forum rozwiązany przykład gdzie rozwiązania można było odczytać prosto z macierzy.. była ona chyba diagonalna o ile się nie mylę...

Rozwiązania można odczytać prosto z macierzy, o ile ona jest w postaci normalnej - a Twoja jest tylko w schodkowej (w postaci normalnej wiodące elementy (czyli te pierwsze niezerowe w każdym wierszu) to jedynki oraz nie tylko pod nimi, ale również nad nimi są zera)

Pozdrawiam.