Matematyka.pl

Witam. Mam problem z zadaniem. Pełna treść zadania:
O symetrycznej macierzy rzeczywistej \(\displaystyle{ A}\) rozmiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\), wiadomo, że ma ślad \(\displaystyle{ 2}\), wyznacznik \(\displaystyle{ -2}\), wartość własną \(\displaystyle{ 2}\). Wyznaczyć maksymalną wartość \(\displaystyle{ \frac{\left| \left| AX\right| \right| }{\left| \left| X\right| \right| }}\), gdy \(\displaystyle{ X}\) przebiega wszystkie niezrowe wektory \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} }\).
Pomysł miałem taki:
Znając jedną z wartości własnych chciałem użyć twierdzenia spektralnego, to znaczy wziąć dowolny wektor jednostkowy \(\displaystyle{ U}\) odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda_{1}=2 }\), jako pierwsza kolumna macierzy izometrii \(\displaystyle{ P}\). Wektor jednostkowy \(\displaystyle{ V}\) prostopadły do \(\displaystyle{ U}\), jako drugą kolumnę \(\displaystyle{ P}\), oraz \(\displaystyle{ W=U \times V}\), jako trzecią. Mając macierz \(\displaystyle{ P}\), mógłbym zapisać \(\displaystyle{ A}\) w postaci \(\displaystyle{ PDP^{-1} }\), gdzie D macierzą diagonalną z wartościami własnymi dla wektorów
własnych, kolejnego \(\displaystyle{ U }\),\(\displaystyle{ V}\),\(\displaystyle{ W}\). Nie znałbym wartości własnych dla \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\), ale skorzystałbym z informacji, że \(\displaystyle{ det(A)=-2}\) oraz \(\displaystyle{ tr(A)=2}\). Uprzednio przemnażając \(\displaystyle{ PDP^{-1} }\) dostałbym układ równań i poznałabym ów wartości własne oraz postać jawną macierzy \(\displaystyle{ A}\). Tu pojawiają się problemy.
Nie mogę samodzielnie wyliczyć \(\displaystyle{ A}\), ponieważ biorąc przypadkowe \(\displaystyle{ U}\) wektory \(\displaystyle{ V}\), \(\displaystyle{ W}\) wychodzą kosmiczne, więc nie wiem czy sposób jest poprawny. Nie mam również pomysłu jak wyliczył bym maksimum \(\displaystyle{ \frac{\left| \left| AX\right| \right| }{\left| \left| X\right| \right| }}\), gdym hipotetycznie znał \(\displaystyle{ A}\).

Pomyśl jakie sa pozostałe wartości własne tej macierzy.

Skoro \(\displaystyle{ 2}\) jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy \(\displaystyle{ A}\) i znam wartości śladu i wyznacznika, korzystając ze wzorów Viete'a dostałem że \(\displaystyle{ \lambda_{2,3}=\pm1}\). Cóż począć dalej?