Macierz odwzorowania macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
emong00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 paź 2022, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 21 razy

Macierz odwzorowania macierzy

Post autor: emong00 »

Wyznaczyć macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ L:M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\ni A \rightarrow \left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4 \end{array}\right] \cdot A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R})}\) w bazie standardowej przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2 \times 2}(\mathbb{R})}\) (czyli w bazie złożonej z macierzy, które mają jeden wyraz równy \(\displaystyle{ 1}\), zaś resztę równą \(\displaystyle{ 0}\)).

Jak wygląda rozwiązywanie takich zadań? Wydaje mi się, że brakuje mi wzorów do macierzy odwzorowania liniwoego macierzy. Wiem jak działa to z wektorami, ale nie widzę jak to przełożyć na macierze.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Macierz odwzorowania macierzy

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale macierze to wektory tej przestrzeni. Postępujesz dokładnie tak samo, jak w przypadku dowolnej innej przestrzeni liniowej.

Ponieważ przestrzeń \(\displaystyle{ M_{2 \times 2}(\mathbb{R})}\) jest czterowymiarowa, więc macierz odwzorowania \(\displaystyle{ L}\) będzie \(\displaystyle{ 4\times 4}\) a jej kolejne kolumny to obrazy wektorów bazowych. Np dla pierwszej kolumny masz

\(\displaystyle{ L\left( \begin{bmatrix}1&0\\0&0 \end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&0\\3&0 \end{bmatrix}=1\cdot \begin{bmatrix}1&0\\0&0 \end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}0&1\\0&0 \end{bmatrix}+3\cdot \begin{bmatrix}0&0\\1&0 \end{bmatrix}+0\cdot \begin{bmatrix}0&0\\0&1 \end{bmatrix},}\)

czyli pierwsza kolumna to \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1\\0\\3\\0 \end{bmatrix}.}\)

JK
ODPOWIEDZ