Matematyka.pl

Dana jest macierz \(\displaystyle{ A \in \mathbb{R}^{n,n}}\) taka, że \(\displaystyle{ A^{2} = I_{n}}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n} = \ker(A + I_{n}) \oplus \ker(A - I_{n})}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, dostałem wskazówkę, że chodzi tu o rzędy macierzy, ale nie wiem jak tutaj to wykorzystać.

Z równości \((A-I_n)(A+I_n)=0\) możesz wywnioskować, że \(\dim\ker(A-I_n)+\dim\ker(A+I_n)\ge n\). Potem pozostaje tylko zauważyć, że oba jądra mają trywialną część wspólną.