Matematyka.pl

Mam pytanie co do zadań takiego typu:
"Sprawdzić czy istnieje iloczyn skalarnyo macierzy \(\displaystyle{
\left[\begin{array}{ccc}
2&-1&0\\
-1&3&1\\
0&1&5
\end{array}\right]
}\)"
I ja bym to robił tak, że zapisuje ten iloczyn skalarny w postaci funkcji w taki sposób:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
x_{1}&x_{2}&x_{3}
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
2&-1&0\\
-1&3&1\\
0&1&5
\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}
y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}
\end{array}\right]=...}\)
I z takiego wyrażenia sprawdzamy 5 warunków na bycie iloczynem skalarnym: przemienność, rozdzielność względem dodawania, zgodność z mnożeniem przez skalar, niezdegenerowanie i dodatnia określoność. Ale czy jest jakiś sposób żeby to sprawdzić bezpośrednio z macierzy? Musi coś konkretnego spełniać czy nie ma żadnego połączenia?

A co to jest "iloczyn skalarny (pojedynczej) macierzy"? Jakoś zawsze miałem przekonanie, że iloczyn skalarny jest operacją binarną.

JK

Mój błąd, powinno być "iloczyn skalarny o macierzy". I właśnie macierz iloczynu skalarnego definiowaliśmy w taki sposób jak wyżej, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą jeżeli wzór na iloczyn jest postaci \(\displaystyle{ x^{T}Ay}\)

Gdy funkcja będąca kandydatem na iloczyn skalarny jest dana macierzą, ipso facto spełniona jest rozdzielność i zgodność z mnożeniem przez skalar. Przemienność jest równoważna symetryczności macierzy, czyli warunkowi \(\displaystyle{ A^{\top} = A}\). Niezdegenerowanie wynika z pozostałych warunków. Jedyną więc nietrywialną własnością do sprawdzenia jest dodatnia określoność, którą w tym przypadku najłatwiej zbadać wyznaczając sygnaturę formy metodą Lagrange'a lub z kryterium Sylvestera.